Algorithm 字符串中需要更改的最小字符数的算法

几天前我遇到了一个编程挑战，现在已经结束了。问题是给定一个小写英文字母的字符串S，找出字符串S中需要更改的最小字符数，使其包含给定单词W作为S中的子字符串

同样在下一行中，按升序打印需要更改的字符位置。由于可以有多个输出，请查找第一个要更改的字符的最小位置

我尝试使用LCS，但只能得到需要更改的字符数。如何找到角色的位置？ 我可能遗漏了什么，请帮忙。可能是其他算法来解决此问题。

LCS（=最长公共子序列）将不起作用，因为W和S中的公共字母需要有匹配的位置。 因为您只允许更新，不允许删除/插入

如果允许您删除/插入，则可以使用Levenshtein距离：

在您的例子中，一个明显的强力解决方案是在每个位置将W与S匹配，复杂性为O（N*M）（S的N个大小，W的M个大小）

LCS（=最长公共子序列）将不起作用，因为W和S中的公共字母需要有匹配的位置。 因为您只允许更新，不允许删除/插入

如果允许您删除/插入，则可以使用Levenshtein距离：

---

在您的例子中，一个明显的强力解决方案是在每个位置将W与S匹配，复杂性为O（N*M）（S的N个大小，W的M个大小）

一个明显的解决方案是在输入字符串

S

上移动参考词

W

，并计算差异。但是，对于很长的字符串，这将变得效率低下。那么，我们如何改进这一点呢

我们的想法是将搜索目标定位在

S

中我们很可能与

W

匹配的地方。找到这些点是关键。如果不执行naive算法，我们无法高效准确地找到它们。因此，我们使用启发式

H

，它给出了我们必须执行的更改数量的下限。我们计算

S

的每个位置的下限。然后，我们从最低的

H

位置开始，检查该位置

S

和

W

的实际差异。如果下一个较高的

H

高于当前差值，则我们已经完成了。如果不是，我们检查下一个位置。该算法的概要如下所示：

input:
    W of length LW
    S of length LS

H := list of length LS - LW + 1 with tuples [index, mincost]
for i from 0 to LS - LW
    H(i) = [i, calculate Heuristic for S[i .. i + LW]]
order H by mincost
actualcost = infinity
nextEntryInH = 0
while actualcost >= H[nextEntryInH].minCost && nextEntryInH < length(H)
    calculate actual cost for S[H[nextEntryInH].index .. + LW]
    update actualcost if we found a lesser cost or equal cost with an earlier difference
    nextEntryInH++

我们可以看到，绝对差值之和的一半是我们需要更改的字母数的适当下限（因为每个字母的更改都会使总和减少2）。在这种情况下，界限甚至很紧，因为总和等于实际成本。然而，我们的启发式不考虑字母的顺序。但最终，这就是它可以有效计算的原因

好的，我们的启发式是直方图的绝对差值之和。现在，我们怎样才能有效地计算这个呢？幸运的是，我们可以增量计算直方图和总和。我们从位置0开始，计算完整直方图和绝对差值之和（请注意，

W

的直方图在剩余的运行时间内永远不会改变）。有了这些信息，我们可以设置

H（0）

为了计算剩余的

H

，我们将窗口滑动到

S

。当我们将窗口向右滑动一个字母时，我们只需要更新直方图并稍微求和：窗口中正好有一个新字母（添加到直方图），一个字母离开窗口（从直方图中删除）。对于两个（或一个）对应的字母，计算绝对差值之和的结果变化，并对其进行更新。然后，相应地设置

H

---

使用这种方法，我们可以在线性时间内计算整个字符串

S

的启发式。启发法给了我们一个应该在哪里寻找匹配项的指示。一旦我们有了它，我们将继续执行本答案开头所述的剩余算法（在启发式较低的地方开始准确的成本计算，并继续进行，直到实际成本超过下一个较高的启发式值）.

显而易见的解决方案是将参考词

W

移到输入字符串

S

上，并计算差异。但是，对于很长的字符串，这将变得效率低下。那么，我们如何改进这一点呢

我们的想法是将搜索目标定位在

S

中我们很可能与

W

匹配的地方。找到这些点是关键。如果不执行naive算法，我们无法高效准确地找到它们。因此，我们使用启发式

H

，它给出了我们必须执行的更改数量的下限。我们计算

S

的每个位置的下限。然后，我们从最低的

H

位置开始，检查该位置

S

和

W

的实际差异。如果下一个较高的

H

高于当前差值，则我们已经完成了。如果不是，我们检查下一个位置。该算法的概要如下所示：

input:
    W of length LW
    S of length LS

H := list of length LS - LW + 1 with tuples [index, mincost]
for i from 0 to LS - LW
    H(i) = [i, calculate Heuristic for S[i .. i + LW]]
order H by mincost
actualcost = infinity
nextEntryInH = 0
while actualcost >= H[nextEntryInH].minCost && nextEntryInH < length(H)
    calculate actual cost for S[H[nextEntryInH].index .. + LW]
    update actualcost if we found a lesser cost or equal cost with an earlier difference
    nextEntryInH++

我们可以看到，绝对差值之和的一半是我们需要更改的字母数的适当下限（因为每个字母的更改都会使总和减少2）。在这种情况下，界限甚至很紧，因为总和等于实际成本。然而，我们的启发式不考虑字母的顺序。但最终，这就是它可以有效计算的原因

好的，我们的启发式是直方图的绝对差值之和。现在，我们怎样才能有效地计算这个呢？幸运的是，我们可以增量计算直方图和总和。我们从posit开始