Algorithm 我们能用循环不变量证明算法的正确性吗？在循环不变量中，我们在第一次迭代之后而不是之前证明算法是正确的？

CLRS说

我们必须展示循环不变量的三个方面：

• 初始化：在循环的第一次迭代之前为真
• 维护：如果在循环迭代前为真，则在下一次迭代前仍为真
• 终止：当循环终止时，不变量为我们提供了一个有用的属性，有助于证明算法是正确的

我的问题是，我是否可以编辑这些步骤并将其改为：

• 初始化：循环第一次迭代后为真
• 维护：如果循环迭代后为真，则下一次迭代后仍为真
• 终止：当循环终止时，不变量为我们提供了一个有用的属性，有助于证明算法是正确的

说明：基本上我们用数学归纳的原理来证明正确性。使用“初始化”，我们证明该属性在第一次迭代后仍然有效。通过使用“维护”，我们可以显示该属性适用于所有迭代，因为“初始化”和“维护”一起创建了一个链。因此，该属性在最后一次迭代后也保持不变

例如：

RANDOMIZE-IN-PLACE(A) 
1 n ← length[A] 
2 for i ← to n
3 do swap A[i] ↔ A[RANDOM(i, n)]

对于这个算法，教科书中已经给出了一个使用标准程序的证明（因为它太长，所以我没有在这里包括它）

我的建议是：

• 循环不变量：就在第2-3行的for循环第i次迭代之后，对于每个可能的（i）置换，子数组A[1..i]包含此（i）置换，概率为（n-i）/n
• 初始化：在第一次迭代后，A[1]以概率（n-1）包含此置换/n=1/n，这是真的
• 维护：在第（i-1）次迭代后让它成为真。在第（i）次迭代之后，[1…i]以概率[（n-i+1）！/n！]*[1/（n-i+1）]=（n-i）/N这就是我们想要的
• 终止：在终止时，i=n，我们得到子阵A[1..n]是一个给定的n-置换，概率为（n-n）/n！=1/n！。因此，随机化就地产生均匀的随机排列

我的解释合乎逻辑吗

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任何帮助都将不胜感激。谢谢。

除了你必须做一个额外的步骤，这涵盖了循环从未运行过之外，你当然也可以在第一次迭代后证明不变量是真的，而不是在第一次迭代前证明它是真的

然而，我怀疑这是否有多大意义

• 首先，如前所述，您已经有了一个特殊情况（如果根本不执行循环会发生什么情况），这可能会导致一个与初始化类似的证明，您首先要跳过它
• 其次，第一次迭代后不变量为真的证明很可能与Maintanance证明非常相似，因此您可能会编写两个非常相似的证明，只是为了跳过初始化，这可能是一个非常简单的证明

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类比

尽管这没有直接关系，但这个问题听起来很像是试图优化以下（伪）代码：

为此：

int product(int[] values)
    product = values[0] // to make the code quicker, start with the first item already
    for i = 1 to values.size - 1 // start the loop at the second item
        product *= values[i]
    return product

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只是，您现在必须包括额外的检查，

值

数组是否为空（我在上面的代码中没有这样做）

您必须在证明中添加一个额外的步骤：存在第一次迭代。（有些循环永远不会执行主体。）是的，你说得对，谢谢：）剩下的证据呢？剩下的证据在我看来没问题。我不知道为什么原来的公式对你不起作用。由于处理元素的子数组将是空的，初始化步骤将非常简单。我不确定如何使这些概率循环不变量工作。我不久前卖掉了我的CLR副本，所以我无法检查，但听起来有点可疑。

int product(int[] values)
    product = values[0] // to make the code quicker, start with the first item already
    for i = 1 to values.size - 1 // start the loop at the second item
        product *= values[i]
    return product