Algorithm 随机提前终止博弈中项目的最优排序

我有n个项目。每个项目都有一个值v_i和一个延续概率p_i。我要玩一个游戏，我选择一个项目，得到它的价值，并继续玩它相应的概率。如果我继续，我可以提取任何剩余的项目，将其值添加到我的总和中，并且再次受到其继续概率的影响。如果幸运的话，我可以一直玩到没有东西剩下为止。我想选择一个订单来最大化我的期望值

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有没有有效的算法来解决这个问题？

你的观察结果是正确的！您应该按v_i/（1-p_i）排序，并按该顺序列出项目

要了解这一点的原因，让我们从两项案例开始。假设您有两个项目（v1，p1）和（v2，p2）。我们的目标是定义某种排序关系≥ 使得（v1，p1）≥ （v2，p2）如果首先拾取（v1，p1）的预期奖励优于首先拾取（v2，p2）的预期奖励

如果你先选择（v1，p1），你的预期回报是v1+p1 v2，如果你先选择（v2，p2），你的预期回报是v2+p2 v1。我们想确定未来会发生什么

v1+p1 v2≥ v2+p2 v1

发生。通过一些代数，我们得到，当且仅当

v1-p2 v1≥ v2-p1 v2

v1（1-p2）≥ v2（1-p1）

v1/（1-p1）≥ v2/（1-p2）

这是你之前发现的

现在，假设您以任意顺序选择元素。让我们给它们编号v1，v2，vn基于它们出现的顺序。现在，假设您已经选择了这些项目，以便它们不会根据上面给出的顺序按降序排列。这意味着一定有两个相邻的术语不符合顺序。让我们让v_i成为第一次发生这种情况。那么预期的回报将是

v1+p1（v2+p2（v3+p3（…（v_i+p_i（v_{i+1}+p_{i+1}X））…）

其中X是剩余项的值。假设您交换项目v_{i+1}和v_i，而不处理其他项目。那么您的奖励将是

v1+p1（v2+p2（v3+p3（…（v_{i+1}+p_{i+1}）（v_i+p_ix））…）

因为这里的引导项是相等的，并且都是非负的，所以我们现在可以忽略它们，并关注核心项

v_i+p_i（v_{i+1}+p_{i+1}X）

及

v_{i+1}+p_{i+1}（v_i+p_ix）

我们知道v_i和v_{i+1}是无序的，所以

v_i+p_i v_{i+1}≤ v_{i+1}+p_{i+1}v_i

因此，假设我们执行交换，我们会看到

v_i+p_i（v_{i+1}+p_{i+1}X）

=v_i+p_i v_{i+1}+p_i p_{i+1}X

≤ v_{i+1}+p_{i+1}v_i+p_ip_{i+1}X

=v_{i+1}+p_{i+1}（v_i+p_ix）

这意味着期望值只能随着我们对序列排序的增加而增加，因此按v_i/（1-p_i）降序排序的贪婪解确实是最优解

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所以，是的。按v_i/（1-p_i）排序并按顺序列出事情。

有趣的问题！出于好奇，这是从哪里来的？你想为一些社交媒体之类的平台对项目列表进行排序。你开发了一个相似概率模型（用户点击相似）和一个延续概率模型（用户看到项目并不断滚动），这会给你v_i和p_i。你想在这个模型下使用它们来最大化喜欢度。看起来按v_i/（1-p_i）排序很有效。刚刚发布了什么（我想）答案是正确的。我定期教授算法课程，这将成为一个非常棒的问题集。你对我使用这个，有归属感的问题感到满意吗？当然，即使没有归属感，也可以使用它，我相信这将使谷歌搜索答案更加困难；）.很好的证据！我在很多随机的例子上进行了实证检验以证实这一点。