Algorithm 求超平面下点个数的快速算法

欧几里德空间中的给定点，是否有一种快速算法来计算任意超平面下的点数？Fast表示时间复杂度低于O（n）

对点进行预处理或排序的时间可以

---

而且，即使不是高维的，我想知道是否存在一个可以在二维空间中使用的点值设置时，使用该点设置的检查条件。然后递增或不递增计数器。O（n）

如果您愿意预处理这些点，那么您必须至少访问每个点一次，即O（n）。如果你考虑一个点的测试作为预处理的一部分，那么你得到了O（0）算法（带有O（n）预处理）。因此，我认为这个问题并不像前面所说的那样有意义

尽管如此，我还是会尝试给出一个有用的答案，即使这不是OP所要求的

选择超平面单位法线和根点。如果平面以参数形式给出

（p-O）.N==0

那么你已经有了这些，只要确保正常的是统一的

如果它以解析形式给出：Sum（i=1到n:a[i]x[i]）+d=0，那么向量a=（a，…a[n]）是平面的法线，n=a/| a |是单位平面法线。平面上的点O（原点）为d N

通过将点p投影到N上并检查参数符号，可以测试点p位于哪一侧：

设V=p-O。V是从所选原点O到p的向量

让我们成为第一个。如果s为负，则P在超平面下

如果你对这个主题不太熟悉，你应该去矢量投影的链接，但我会用我的符号在这里总结。或者，你可以相信我的话，直接跳到最后的公式

如果alpha是V和N之间的角度，那么根据余弦的定义，我们有cos（alpha）=s | | | N | | |/| V | |=s/| | V | |，因为N是单位法线。但我们也从向量代数中知道cos（alpha）=| | | | | | | | | |（V.N），其中“.”是标量积（也称点积或欧几里德内积）

将cos（alpha）的这两个表达式相等

s=（V.V）（V.N）

（使用| | V | | ^2==V.V这一事实）

所以你的前期工作是计算N和O，你的测试是：

bool is_under = (dot(V, V)*dot(V, N) < 0.);

bool小于=（点（V，V）*点（V，N）<0）；

我不相信它能做得更快。

我通过使用分治和二进制搜索，在二维空间找到了O（logN）算法，其中O（N logN）预处理时间复杂度和O（N logN）内存复杂度

其基本思想是，点可以分为左N/2点和右N/2点，线下的点数量（在二维尺寸中）是线下左点数量和线下右点数量的总和。我将把把整个点分成“左”和“右”的无限线称为“分界线”。分界线看起来像‘x=k’

如果每个“左点”和“右点”按y轴顺序排序，则可以使用二进制搜索“y值低于直线和分界线交点y值的点的数量”，快速找到特定点的数量（右下角的点）

因此，时间复杂度非常高

T（N）=2T（N/2）+O（对数N）

---

最后，时间复杂度是O（logn）

@DeepYellow，如果点按x顺序排序，那么将左N/2点和右N/2点分开需要O（1）顺序。。T（N）=2T（N/2）+O（logn）表示T（N）=O（N），而不是O（logn）。。我应该另找一条路。