Algorithm 堆排序复杂性

下面是数组上HEAPSORT的伪代码

HEAPSORT(A)
  BUILD-MAX-HEAP(A)
  for i = A.length downto 2
     exchange A[1] with A[i]
     A.heapsize = A.heapsize - 1
     MAX-HEAPIFY(A,1)

我很清楚，BUILD-MAX-HEAP的复杂度为O（n），MAX-HEAPIFY的复杂度为O（h），其中h是最大值为logn的堆的高度

我不完全理解的是，为什么HeapSort具有nlogn的复杂性。我知道我们有n个迭代，每个迭代都有一个MAX-HEAPIFY。但是，在每次迭代中，MAX-HEAPIFY调用都会得到一个不断减小的堆。那么，每个迭代的复杂度怎么可能是O（lgn）？绑得紧吗？在任何地方我都能看到相同的数学证明？

大O符号表示上限。正如你所说：

MAX-HEAPIFY的复杂度为O（h），其中h是最大值为log n的堆的高度

我们不在乎堆是否变小。我们知道，在最坏的情况下，堆的高度为logn。我们这样做n次，因此n log n.

观察

log 1 + log 2 + log 3 + ... + log n
= log (1 * 2 * 3 * ... * n)
= log n!

现在，根据斯特林近似

n! ≈ sqrt(2πn) * (n/e)n

---

这是O（n log n），因为

n log n

项支配

n

项（而我忽略了O（log n）项，因为没有MathJax很难输入）。

相关：下面是BUILD-MAX-HEAP\u BUILD-MAX-HEAP（A）A.heapsize=A.length for I=A.length/2 down to 1 MAX-HEAPIFY（A，I）的伪代码在上面，我们确实考虑了堆的深度来计算复杂性，即O（n）。为什么我们不在HEAPSORT中做呢？@lalatnayak，因为我们作弊了，并且已经知道我们在HEAPSORT中做的不比O（n log n）更好（提示：我们需要一个下限）。正因为如此，我们并没有试图改善我们的上限。谢谢，我怀疑我是否能在没有暗示的情况下找到它：）漂亮！只有一个输入错误，我想应该是log（n/e）

log n! ≈ n * (log n/e) = n * (log n - 1)  = n log n - n