Algorithm 具有正交边（凸或凹或有孔）的多边形内的最远点

我有一组表示单个形状的非相交矩形。所有矩形边要么垂直，要么水平。有些矩形是相邻的，有些是不相交的。该集合是通过从单个其他矩形裁剪出类似方向的矩形而得到的。如何查找距离新形状边缘最远的所有点

所谓最远，我指的是给定连接多边形

p

内的点

a

（因此我们忽略所有不包含

a

的不相交多边形；给定非相交多边形将只有一个）使

P

内没有点

B

，从

B

到

P

边缘上任何点的最小距离大于与

A

相同的最小距离

这就是我想我必须要做的：

将相邻矩形分组

将多个相邻矩形转换为单个不规则多边形，该多边形可以是凸多边形，也可以是凹多边形，可能包含孔，但只有正交边。问题：如何表示孔？是否应移除（3）的孔？如何在保持边缘正交的同时去除孔洞

• 并行执行步骤1和2可能更容易

对于每个多边形，应用一个算法，该算法返回距离该多边形边缘最远的点以及最小距离

• 问题：如何测试点是否在多边形内

• 答复:

过滤所有具有最大最小距离的点；这些都是结果

假设这是正确的，那么最好的算法是什么（3），以及它如何影响答案的其余部分？仅具有垂直或水平边缘是否简化了问题

我所说的最好，是指最简单或最快的

说明：

编辑v1:

所以我用谷歌解决了这个问题，找到了几种方法

算法

Voronoi图->中轴

线段（而非点）的voronoi图由中轴线段（直线或抛物线弧）和从多边形的每个顶点到中轴顶点的（反射）直线组成。有关voronoi图、中轴和最大内切圆问题之间关系的概述，请参见。另见下文

使用，

O[n*log（n）]

适用于凸多边形或凹多边形，与孔无关。为多边形的边构造voronoi图。不幸的是，生成了一组无序的线段（直线或抛物线）。在确定最大内切圆之前，将集合组织成图形结构。有关fortune算法的详细概述，请参阅

使用，

O（n）

适用于没有孔的简单多边形（凸面或凹面）。它看起来很复杂，所以我决定跳过这个

使用，

O（n）

仅适用于凸多边形，因此不适用于我的问题。有关更多信息，请参阅

直骨骼->中轴

对于凸多边形，voronoi图和直骨架是相同的。因此，这些解决方案不适用于我的问题

使用，

O[n*log（n）]

。有关更多信息，请参阅

蛮力，

O（n^4）

。见和

对于多边形边和顶点的所有可能的三向组合（顺序无关紧要）：

为每个集合构建最大内切圆，即找到与所有三个集合等距的中心点

如果中心位于多边形之外，则放弃结果

如果任何其他边或顶点位于圆内（或相交），则放弃结果

按圆半径排序；返回最大的圆

Delaunay三角剖分->Voronoi图->中轴

应该可以将delaunay三角剖分转换为voronoi图。。。但我还没有研究过边的voronoi图。如果几何体库仅提供delaunay三角剖分，则此方法可能非常有用

Voronoi图与最大内切圆 我看到的每个资源都声称最大内切圆接触多边形的三个面（顶点或边），因此最大圆的中心必须是中轴上的顶点。但这只表示最大内接圆的子集。考虑矩形的中轴：

任何中心沿中轴水平段的圆都是有效的最大内切圆。因此，如果中轴段分隔两个最近的相邻单元，且这些单元的相应多边形段平行，则整个中轴边表示最大内接圆集，而不是单个点

直观地说，我认为这就是它的工作原理，考虑到多边形边与最近邻单元的可能组合：

• 线，线，平行：中轴是一条线，它代表一组可能的最大内接圆

• 线，线，不平行：中轴是一条线。通常，此线的端点必须至少有两条反射线连接回多边形。可能的最大内接圆以反射线最长的端点为中心

• 直线、点：中轴为抛物线。如上所述，使用反射线确定可能的最大内切圆的中心。（*）

• 点，点：同上。（*）
  不知道最后两个

这就是上文详述的暴力手段不完整的原因

正交多边形 尽管有正交约束，我还是找不到任何更简单的算法来构造中轴。一篇论文使用了这个约束