Algorithm 整数划分（算法和递归）

查找一个和数的多少个组合（代码中的变量n）。例如：

3=1+1+1=2+1=3=>ANS是3

5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1=1+1+1+1=>ANS为7

在下面的示例中，m是最大数，

n

是总和， 目的是找出它有多少个（和）组合

我只是想知道为什么p（n，m）=p（n，m-1）+p（n-m，m）

代码如下：

int p (int n, int m)
{
    if (n == m)
        return 1 + p(n, m - 1);
    if (m == 0 || n < 0)
        return 0;
    if (n == 0 || m == 1)
        return 1;

    return p(n, m - 1) + p(n - m, m);

}

intp（intn，intm）
{
如果（n==m）
返回1+p（n，m-1）；
如果（m==0 | | n<0）
返回0；
如果（n==0 | | m==1）
返回1；
返回p（n，m-1）+p（n-m，m）；
}

谢谢

表示

p（n，m）

为其和为

n

且每个加数小于或等于

m

的所有组合的数量。这里的关键是要证明以下递推方程：

p(n, m) - p(n, m - 1) = p(n-m, m)          (1)

（1）的左边是p（n，m）和p（n，m-1）的差，p（n，m-1）是至少包含一个

m

作为加数的所有组合的数量，剩余的和是

n-m

（这样总的是

n

），而且每个加数都小于或等于

m

。但这恰恰意味着p（n-m，m），它是（1）的右边

---

显然，问题的答案应该是p（n，n）。

首先，有关此函数的更多信息，请参阅

对于这个公式，请记住

p（n，m）

被定义为

n

的分区数，其最大成员最多为

m

因此

p（n，m）

是

m

的分区数，其最大成员最多为

m

。让我们根据最大的成员是否实际是

m

来划分它们

最大成员为

m

的分区数是填写

n=m+…

的方式数，这是

n-m

的分区数，其最大成员最多为

m

，根据定义为

p（n-m，m）

根据定义，

n

的最大成员最多为

m-1

的分区数是

p（n，m-1）

---

因此

p（n，m）=p（n-m，m）+p（n，m-1）

考虑通过添加一些小于或等于

m

的数字来产生

n

的所有方法。正如你所说，我们称之为

p（n，m）

。例如，p（7,3）=8，因为有8种方法可以将小于3的数字变成7，如下所示：（为了简单起见，我们可以假设我们总是按照从最大到最小的顺序添加数字）

• 3+3+1
• 3+2+2
• 3+2+1+1
• 3+1+1+1+1+1
• 2+2+2+1
• 2+2+1+1+1+1
• 2+1+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+1+1+1+1+1

现在我们可以将这些组合分为两组：

第一个元素等于

m

（=3）的组合：

• 3+3+1
• 3+2+2
• 3+2+1+1
• 3+1+1+1+1+1

第一个元素小于

m

的组合：

• 2+2+2+1
• 2+2+1+1+1+1
• 2+1+1+1+1+1+1
• 1+1+1+1+1+1+1+1+1

因为

p（n，m）

组合的每个成员将在组1或组2中，我们可以说

p（n，m）=大小（组1）+大小（组2）

。现在如果我们通过替换证明

size（Group1）=p（n-m，m）

和

size（Group2）=p（n，m-1）

，我们得到

p（n，m）=p（n-m，m）+p（n，m-1）

验证

大小（组1）=p（n-m，m）

： 根据上述定义，

p（n-m，m）

是通过添加一些小于或等于

m

的数字来产生

n-m

的方法的数量

---

• 如果将

  m

  附加到

  p（n-m，m）

  的每个组合中，它将成为组1的成员。所以

  p（n-m，m）size（Group2）=p（n，m-1）

  你想一个接一个地计算每个排列吗？我认为它是组合，在这种情况下3+2和2+3没有区别。我猜它来自这里：它不一样，这里的函数使用的数字不大于m（小于或等于），但是wiki中的情况是使用大于或等于k的数字。我想您希望我们通过组合参数来证明

  p（n，m）

  的递归关系，但是您忘了给出该函数的组合定义！这不是一个公平的问题。我只是不明白为什么剩下的是p（n-m，m），可以用其他方式解释吗？如果你能用中文解释得更详细些就更好了@我不确定用中文回答是否好。让我们这样想：所有在P（n，m）中但不在P（n，m-1）中的组合的特征是什么？首先，这些组合必须有一个固定的成员，即，

  m

  （否则它也将属于p（n，m-1））。其次，其余成员的总和必须是

  n-m

  （s.t.总总和是

  n

  ）。此外，其余成员最多可以是

  m

  。因此，这些组合的数量应为

  p（n-m，m）

  。明白了吗？有谁能告诉我，在考虑返回值0和1的情况下，在p（4,3）之后，3+3+13+2+2+1+13+1+1+1的值是如何生成的。

          / 0 (k>n)
  p(k,n)={  1 (k=n)
          \ p(k+1,n)+p(k,n-k) (k<n)