Algorithm 计算棋类材料组合数的简单方法

在国际象棋中，一个棋手可以有不同的材质组合，例如：

“1个皇后，2个车，2个骑士，2个主教，8个兵+国王”是一个组合

如果玩家失去一个主教：

“1个皇后，2辆车，2个骑士，1个主教，8个兵+国王”是另一个组合

…之后，如果一名兵被提升为骑士，则：

“1个皇后，2辆车，3个骑士，1个主教，7个兵+国王”是另一个组合

好的，以下组合无效：

“5个皇后，5个车，5个骑士，5个主教，2个兵+国王”

因为你缺少可以提升的棋子。（5个皇后=需要4个兵）（5辆车=需要3个兵），等等。所以需要4+3+3+3=13个兵。由于棋盘上有2个棋子，那么最多可以提升6个棋子。无效

有多少种有效的材料组合？ 我使用下面的C代码计算了8694个组合。问题是:

您是否找到更简单/有效的算法来计算它？（更少的周期、更少的计算、更清晰的代码等）。。。甚至是一个数学公式

total = 0;
for (queens=0;queens<=9;queens++)
for (rooks=0;rooks<=10;rooks++)
for (bishops=0;bishops<=10;bishops++)
for (knights=0;knights<=10;knights++)
for (pawns=0;pawns<=8;pawns++)
{
    pawnsRequested = 0;
    if (queens>1) pawnsRequested += queens - 1;
    if (rooks>2) pawnsRequested += rooks - 2;
    if (bishops>2) pawnsRequested += bishops - 2;
    if (knights>2) pawnsRequested += knights - 2;
    if (8-pawns < pawnsRequested) continue;
    total++;
}
printf("%i\n",total); 

total=0；
对于（queens=0；queens如果棋子类型是独立的，那么我们就可以进行乘法：10种可能是queens乘以11种可能是rooks，等等。然而，我们需要跟踪典当的使用情况。有一个数学技巧，我们可以将rooks的可能性编码为

3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8,

其中，
x
的幂表示使用的棋子数量，系数表示可能性的数量。这里有三种可能性不需要升级棋子（0，1，2），一种需要一个升级棋子（3），一种需要两个升级棋子（4），等等。现在我们可以将每种因素相乘（分别是皇后、车、主教、骑士、兵）

给你


1
到
x^8
的系数为54、135、261、443、693、1024、1450、1986、2648，总和为8694，这是
0
到
8
所需的典当数

  (2 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)