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Algorithm 扭曲网格中的最短路径

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Algorithm 扭曲网格中的最短路径,algorithm,dynamic-programming,graph-theory,dijkstra,breadth-first-search,Algorithm,Dynamic Programming,Graph Theory,Dijkstra,Breadth First Search,我试图解决一个基于图形的问题，以下是陈述： 我必须找到从标记位置到标记位置的最短路线。[注意：我标记了s和E只是为了便于理解]。这是一个陷阱问题，我只能穿过标记为0的单元格，标记为1的单元格表示无法通行的墙。此外，我还可以选择只移除一面墙，如果它能缩短我的退出路线移动只能在基本方向上进行；不允许对角移动。 二维网格示例： [ [0(S) 1 1 1 1 ], [0 0 1 1 1 ], [1 0 1 0 1 ], [1

我试图解决一个基于图形的问题，以下是陈述： 我必须找到从标记位置到标记位置的最短路线。[注意：我标记了s和E只是为了便于理解]。这是一个陷阱问题，我只能穿过标记为
0
的单元格，标记为
1
的单元格表示无法通行的墙。此外，我还可以选择
只移除一面墙
，如果它能缩短我的退出路线移动只能在基本方向上进行；不允许对角移动。

二维网格示例：

[
    [0(S) 1  1  1  1   ], 
    [0    0  1  1  1   ],
    [1    0  1  0  1   ],
    [1    1  0  0  0(E)],
]
如果没有拆除墙壁的选项，我可以简单地使用
Bfs
或
Dijkstra
找到最短路线。这里有人问了这个问题： -他们使用完全穷举搜索，这对大型矩阵非常不利，他们专注于基于语言的优化，这不是解决问题的好方法

-接受的答案有以下方法：

  • 从监狱门口开始进行广度优先搜索，以找到 每个可通行空间与监狱门的距离

  • 从逃生舱开始进行另一次广度优先搜索，以找到 每个可通行空间与逃生舱的距离

    • 现在遍历墙壁，并考虑依次移除每个墙壁。 你知道每个可通行的空间与监狱门的距离 还有逃生舱，所以你可以马上计算出 穿过墙壁留下的空间的最短路线
    你刚刚搬走了

但是我不清楚上面第三步的意思（所以你可以立即计算出穿过墙留下的空间的最短路线的长度）

还有什么更好的方法吗

它可以通过动态规划而不使用图形来解决吗？

我只想对图形进行如下扩充：构建一个新的图形
G'
，它是初始图形
G
的两倍大。G'的每个节点表示一个状态
（v，rem）
，其中
v
是G的一个节点，{0，1}中的
rem\n表示您是否已经删除了一个节点。还要添加一个额外的节点E_new


G'
中的邻接如下：


    

  • 所有
    （v，0）
    s（分别为
    （v，1）
    s）都像G一样相互链接（如果它们都有值0）
    • 

  • 如果v1的值为0，而其相邻的一个v2的值为1，则在
    （v1，0）
    和
    （v2，1）
    • 

  • （E，0）
    和
    （E，1）
    都以0的成本链接到
    E\u new
    。（如果不使用成本，只需将1减去最后的长度即可）
    • 


现在，您的目标是从
（s，0）
到
E_new
，Dijkstra（因此，如果所有步骤的成本相同，那么BFS在您的情况下）应该在最短时间内正常工作
O（n）
，其中n是节点数（而不是正方形的边）。A*会更快，但实施起来有点棘手。如果希望不移除墙的解决方案成为首选（等长），则必须注意执行BFS的顺序（首先是rem=0的节点）

这与（实际上是的一个实例）非常相似

编辑：
您上面建议的答案具有相同的复杂性，需要2个BF而不是1个BF，但是在一个比1小两倍的图上，所以可能类似，再加上另一个循环，所以我不知道哪一个更快

（因此，您可以立即计算出
穿过墙留下的空间）

在第1步和第2步中，您一方面计算了源与每面墙之间的分拣路径，另一方面计算了出口与所有墙之间的分拣路径，而无需穿过任何墙。通过为给定墙节点添加这两个值，可以仅获得从s到e穿过该墙的路径长度。通过迭代所有的墙（或者至少是其中的一部分，如果你做得很聪明的话），你可以得到最短的路径，你可以在不穿过任何墙的情况下与最短的（s，e）路径相比较，只保留最好的一条

编辑2

以下是我的方法的一个小示例：
假设您的网格如下所示：


[[0, 0, 1],
 [0, 1, 0]]


其中的节点可以用它们的坐标（1,1）、（1,2）等表示。

唯一存在的边是（1,1）到（1,2）和（1,1）到（2,1）以及（3,1）和（2,2）到（3,2）。向每个节点添加第三维rem，该值可以为0或1。对于rem的每个值，如果（i1，j1）->（i2，j2）在图中，则现在有（i1，j1，rem）->（i2，j2，rem）。对于不在图形中的所有边（i1，j1）->（i2，j2）（由于墙），现在有了（i1，j1，0）->（i2，j2，1）。另外，在最后，（2，3，0）->E_new和（2，3，1）->E_new。您可以在这个新图表中运行BFS。
您能用一个简单的例子来解释它吗。谢谢您的回答哪一部分？我的算法还是你找到的算法？你解释的算法不确定我是否理解你的问题。如果不穿过墙，则无法从S到达此墙，因此您计算的S与未穿过任何墙的墙之间的距离（步骤1）将是有限的（表示为一个非常大的整数big_VAL），因此它与到E的距离（从步骤2得到）之和不能是最小值，除非在0或1墙交叉中没有从S到E的路径。你可以通过检查你的最小路径的长度是否大于BIG_VAL来识别这种情况。我认为“可通行空间”的意思是“墙，如果被移除，会形成一条可能的路径”，即“墙不在其他墙之间”，但你可以对所有墙都这样做（无论如何，BFS将计算到网格中所有可到达点的最短距离，包括墙和非墙）。这就是我的理解，至少在O（n）中是这样工作的