Algorithm 递推关系：迭代求解

存在如下递归关系：

T(n) = 2 T(n-1) + O(1) for n > 1 
otherwise, its T(n) = O(1)

通过迭代，到目前为止我得到了

T(n) = 2(2T(n-2) + 1) + 1 --- 1
T(n) = 2(2(2T(n-3) + 1) + 1) + 1 ---- 2
T(n) = 2(2(2(2T(n-4) + 1) + 1) + 1) + 1 ------3
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4

我不确定下一步要做什么才能找到时间复杂度的上限。谁能帮我一下吗。

看第4步

T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5) + 1) + 1) + 1) + 1) +1 ----- 4
T(n) = 2(2(2(2(2T(n-5))))) + 16 + 8 + 4 + 2 +1 = 
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 =
T(n) = 2^4* 2T(n-5) + 2^5 -1 =

类似地，如果您也这样做，并且再次开发，您将获得：

T(n) = 2^5 *2T(n-6) + 2^5 + 2^5-1
T(n) = 2^5 * 2T(n-6) + 2^6-1

现在我们可以理解，如果我们发展到T（1）的基础，我们得到：

请注意，这种方法只是给出解决问题的直觉，而不是证明

---

要正式证明该主张，您可以使用归纳法，并主张假设

T（n）=2^n-1

：

基数：

T（1）=1=2^1-1

归纳假设：对于所有的
k，根据
O（1）
的定义，我们知道对于一些常数
N
和
c
，对于所有的
N>=N

T(n+1) <= 2 T(n) + c

这证明了
T（n）
是
O（2^n）
非常感谢您如此清晰的解释！现在，根据迭代解2^（n）-1，上界时间复杂度为O（2^n）@Dee yes。但请记住，迭代方法不是一种形式证明。这只对直觉有好处。是的，但我只是想用迭代的方法来尝试一下（我以前从来没有这样做过）。那么，这意味着O（2^n）是这个函数的复杂度？另外，我能知道，你是如何从
2^4+2^3+2^2+2^1+2^0
得到
2^5-1
？这有点不清楚。对不起，我现在明白了：）与论坛网站不同，我们不使用“谢谢”或“感谢任何帮助”或签名。请看“.好的，请记住！您的评论“否则，它的T（n）=O（1）”在渐近框架中是没有意义的。问题的关键是，渐近递归不是像标准递归那样求解的，因为O（1）表示一个未知函数，不是常数。我能知道为什么我在这个问题上被否决了吗？感谢
证明了T（n）是O（2^n）
。这不是一个证明。声明
T（n+k）很抱歉，你不能理解我的论点。我建议你检查一下。我非常清楚这个定义，它与它无关。你未能证明索赔
t（N+k）。我添加了一个足以证明的理由（除了恶意）。
T(n) = 2T(n-1) +1 =(i.h.) 2* (2^(n-1) -1) + 1 = 2^n -2 + 1 = 2^n - 1

T(n+1) <= 2 T(n) + c

T(N+1) <= 2 T(N) + c
T(N+2) <= 2 T(N+1) + c <= 4 T(N) + 2 c + c
T(N+3) <= 2 T(N+2) + c <= 8 T(N) + 4 c + 2 c + c
...
T(N+k) <= 2^k T(N) + (2^k-1) c

T(n) <= 2^(n-N) T(N) + (2^(n-N)-1) c <= 2^n (2^(-N) (T(N) + c))