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Algorithm o（1）中是否有任何函数？

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Algorithm o（1）中是否有任何函数？,algorithm,big-o,time-complexity,little-o,Algorithm,Big O,Time Complexity,Little O,我的一位同事问我一个问题：seto（1）（）是否为空 我的问题是：o（1）是一个空集吗？如果没有，是否存在时间复杂度为o（1）的程序 提醒，little-o的定义如下： 函数f（n）被称为在o（g（n））中，如果为正 常数c>0，存在一个常数n0>0，使得0=n0 直观地说，如果f（n）在o（g（n））中，如果它在o（g（n）），但是这个界限并不紧。集合o（1）不是空的 首先要记住，f（x）位于o（g（x））当且仅当 lim_x->无穷大{f（x）/g（x）}=0 对于非零g（x） 但是，更重要

我的一位同事问我一个问题：set
o（1）
（）是否为空

我的问题是：
o（1）
是一个空集吗？如果没有，是否存在时间复杂度为
o（1）
的程序

提醒，little-o的定义如下：

函数
f（n）
被称为在
o（g（n））
中，如果为正 常数
c>0
，存在一个常数
n0>0
，使得
0=n0

直观地说，如果
f（n）
在
o（g（n））
中，如果它在
o（g（n））
，但是这个界限并不紧。

集合
o（1）
不是空的

首先要记住，
f（x）
位于
o（g（x））
当且仅当

lim_x->无穷大{f（x）/g（x）}=0
对于非零g（x）

但是，更重要的是，什么是候选集
f（x）

有些函数在所有[1]上都定义了它，即
f:R->RU{U}
（其中U对于函数的某些值是未定义的）。这意味着，我们可以使用任何实对实函数，包括函数
f（x）=1/x
。 我们还可以看到
g（x）=1
是一个非零函数，实际上：

lim_x->无穷大{1/x/1}=0

这意味着，
o（1）
包含函数
f（x）=1/x
，我们可以得出结论，该集合不是空的。
Knuth还将函数
g（n）=n^-1
引用为有效函数，并在中使用
O（n^-1）

另一些，Cormen是其中之一，将集合定义为f:N->N，其中N={0,1，…}，这也包括
f（x）=0
，这同样保持了o（1）的条件。[2]

在
o（1）

虽然在实数上定义了小o符号，但算法的复杂度函数却不是。它们是在自然数[3]上定义的。你要么做指令，要么不做。不能执行指令的一半或e-1指令。这意味着，复杂度函数集是
f:N->N
。因为没有像“”这样没有指令的东西（回想一下调用它本身的开销需要时间），它甚至将这个范围缩小到
f:N->N\{0}

换句话说，对于算法的任何复杂度函数
T（n）
，对于所有
n>0
，
T（n）>0

现在我们可以回到我们的公式：

lim_x->无穷大{T（x）/1}>=lim_x->无穷大{1/1}=1>0

这表明在
o（1）
中没有正的自然函数，并且我们可以得出结论，没有算法具有
o（1）
中的复杂度函数

脚音：
（1） 如果你不确定，回想一下泰勒级数，在某个时刻，我们停止添加无穷级数，只提到它是
O（x^n）
。我们在这个大O符号中“隐藏”的函数不是自然数。
（2） 然而，如果我们将集合N+={1,2，…}定义为正自然数的集合，将o（g（N））定义为正自然函数的子集，则o（1）是一个空集，其证明与没有算法具有这种复杂性的证明相同。

（3） 嗯，对于一般情况，图像可以是一个非自然数，但我们在这里假设最坏情况的复杂性，尽管这种说法对于一般情况仍然成立，因为没有空程序。

根据
的定义，小o
遵循这个条件来满足（即o（1）），必须有在任意短时间内完成的算法。
这与图灵机的定义相矛盾，图灵机要求“将无限长的胶带标记成正方形（有限大小）”。唯一的解决方案是执行0指令的空图灵程序。
但是，这样的程序无法生成，因为它需要机器，机器以终止状态启动，因此不能执行任何其他程序，并且不是图灵机。

函数f（n）=0在o（1）中，因此o（1）不是空的。因为对于每一个c>0，f（n）
程序的时间复杂度是否为o（1）是一个意见（或定义）问题。如果您认为一个程序不需要基本操作就可以存在，那么它的时间复杂度为o（1）。如果你认为一个程序不存在基本操作，那么不管输入如何，它总是至少需要1个时间单位，在LITTO O的定义中挑选C＝0.5给出了一个证明，它的时间复杂度不是O（1）。我不确定你关于f（x）=1/x是从R到R的函数的观点。在我看来，这不是因为它没有定义为0。我不明白关于截断泰勒级数的部分。。。一般来说，泰勒级数只是一个注释，它显示了非实数的一种常见用法。我经常看到序列的“尾部”（anx^n+an+1x^n+1+…）被简单地视为
O（x^n）
，特别是在处理x0=0时，以表明它存在而不是0，它足够小，可以忽略，因为x到x0的值足够接近。@Anonymous我通过扩展
f:R->RU{U}
的定义，解决了在0处没有定义1/x的问题，因为我在文献中确实看到了很多关于这个特定函数的情况（在这个答案中提到了其中一个），我相信这个扩展是正确的。我认为这个答案包含了太多有点切题的细节（在一些可疑的地方），也许是混淆了问题背后的模糊定义。我尝试了一个更简洁的回答。“小o”和欧米茄一样吗？@Pacane不。请看这里的定义和维基百科链接。这并不像你所说的“没有图灵机器可以有o（1）的复杂度”，但当你把o（1）称为一组算法，而它是一组函数时，我不能对答案进行修正。你的答案可能是一个非常好的答案