Algorithm 查找距离至少为（无向）图一半的任意两个节点的算法'；s直径

我必须给出一个如下的算法：

给出一个无向连通图G，给出一个算法，求出两个节点x，y的距离至少为图直径的一半。证明任何索赔

我假设我必须从任意节点运行BFS，并找到其最远的节点以找到直径。然后找到距离大于直径一半的两个探测节点。 但我怀疑这是最优的，并要求解决方案。在运行BFS查找直径时，是否有其他方法可以同时查找这两个必需的节点？因此，复杂性仍然是多项式的。

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任何指导或暗示都将不胜感激

这其实是个棘手的问题，但我想我明白了。有趣的是，你部分错误的解决方案让我走上了正确的道路

让我们在此复制几个定义：

• 图中两个顶点之间的距离是最短路径中的边数
• 顶点

  v

  的偏心率是

  v

  与任何其他顶点之间的最大距离
• 图的直径

  d

  是图中任何顶点的最大偏心率。也就是说，

  d

  是任何一对顶点之间的最大距离

真正的问题是找到直径，这不是一项容易的任务。要找到直径，您不能只选择任何节点并运行BFS-在这种情况下，您只需找到距离该节点（偏心率）最大的节点，但它不是直径。要真正找到直径，您必须从每个节点运行BFS（=查找偏心率），获得的最大距离是直径（有一些更好的alghoritms，但正如我所说，这不是简单的任务）

然而！你根本不需要知道直径。如果您实际从随机节点运行BFS，并找到距离（偏心率）最高的节点-这就是算法的解决方案

x

将是您的起始节点，

y

将是距离最大的节点

为什么?？如果你想象这样的超简单图

可以看到直径在节点1和节点4之间。所以不管你从哪个点运行BFS，这个点必须是中间的（这意味着它将有一半的直径）或者不在中间，然后具有最高距离的节点必须具有比半个直径更高的距离。 甚至更复杂的图形也不能改变事实

如果您选择6或7，它的直径路径并不完全相同（因为最大距离在1-2-3-4-5之间），但这意味着您可以获得更高的距离，这对于您的任务来说是很好的

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结果：从随机节点运行BFS，当它结束时，从开始节点取距离最大的节点（=找到偏心率并记住最远的节点），开始和“结束”节点是

（x，y）

图的直径（称之为

D

）是最大距离（=最小跳数）在其任何节点之间

选择任意节点并执行BFS，同时为每个节点保留初始节点的跳数。这需要O（V），因为您将只访问所有节点一次。请注意，这

跳数

也是从根到v的

最短距离

——我将其称为

d（根，v）

现在，从你的根上取一片跃点数最大的叶子

z

。恭喜你，

d（root，z）>=d/2，因为

引理：对于直径
D
的连通图中的任何节点
x
，必须存在至少距离
D/2
较远的节点
y

证明：如果不是这样，那么会有一些节点
x
，因此，对于所有
y
，
d（x，y）=d/2-k=1
）。但是，通过
x
，我们可以找到从任何节点到所有其他节点的路径，最多
2*（D/2-k）=D-2k
，因此，图形的直径不能是
D
，而是
D-2k
，答案与我的相同，但用的是图形而不是数学proof@tucuxi-好吧，你的证明绝对是证明，我的更像是“应该是这样，因为它有意义”：D。然而，我的证明更具解释性，这有助于理解这个想法。我觉得这两样东西都放在这里真是太好了。谢谢你的详细解释！这很有帮助！选择任意根并查找距离该根最远的节点实际上不会给出直径。例如，考虑直径为3的图A－B-C-D；如果选择C作为根，距离C最远的节点是A，距离C为2。但是，BFS仍然是一个好主意；土库锡的回答解释了原因。谢谢！这更有意义！