Algorithm 单位立方体的边长，给定需要使用N个单位立方体来平铺/填充给定尺寸的3D空间

一个具有矩形棱镜三维空间，例如{xmin，xmax}，{ymin，ymax}，{zmin，zmax}。目标是使用最多N个立方体的预定义“网格”最大限度地平铺三维空间。如果N个立方体不能均匀地平铺到空间中，则它将使用不超过N个立方体。注：立方体位于立方体中心点（即，它是一个网格），而不是立方体边缘

例如，在N=30和{0,3}，{0,3}，{0,3}的简单情况下。正确的答案是使用边长为1的立方体，在这种情况下，27个立方体将在3行3列3个堆栈中使用

在N=1000和{0，100}，{0，0}，{0，50}的更困难的情况下，显然y维只使用一行立方体（它不能再使用了），因此z和x维必须使用按2:1的比率排列的1000个立方体。100/L*50/L=1000。因此，边长可能在2.2361左右，因为22 x 1 x 45=990是最接近1000的距离（或者，我们已经最小化了无法用立方体中心覆盖的面积）。当然，边必须是立方体的整数

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我正试图建立一个方程组来解决这个问题，但我有一种奇怪的感觉，这是一个满足（最小化）问题，因此需要一些迭代。。。下面是对方程组的一次尝试：

L, xe, ye, ze ∊ Positive Reals
N, x, y, z ∊ Natural Numbers
x*y*z ≤ N
(x-1)*L ≤ xe
(y-1)*L ≤ ye
(z-1)*L ≤ ze
x,y,z ≥ 1
L = min(i) { (xe*ye*ze) - ((x-1)*i*(y-1)*i*(z-1)*i) }

我这样做是为了它是x-1，y-1等等，这意味着它们可以超出宽度，精确地，最多1个立方体大小。我无法决定在所有维度中这样做是否正确，或者指定它必须在最多一个维度（最小的维度？）中向外延伸。

总体思路 这里的直觉是，每个方向上立方体的数量将与该方向上空间的大小成正比，因为立方体是规则的。另一个提示是，“每个方向上有多少个立方体”问题的解决方案只取决于大小之间的比率，而不取决于它们的实际值：如果用相同的膨胀因子乘以每个维度，则解决方案仍然相同

简化问题 假设您的空间大小为

dx、dy、dz

，均为非零，并且您希望使用最多

N

个立方体

让我们将我们的限制表述为：

查找Nx、Ny、Nz、L，以便
-Nx*Ny*Nz≤ N
-Nx*L≤ dx
-纽约*L≤ dy
-新西兰*L≤ dz
最小化“丢失的音量”：

（dx*dy*dz-L^3*Nx*Ny*Nz）

您可能希望最大化

Nx*Ny*Nz

。还要注意，最小化未平铺的卷等于最大化

L^3*Nx*Ny*Nz

最后一个观察结果是，如果您的解决方案在任何方面都是最优的（立方体数或平铺体积），则至少有一个维度将具有相等的

N@*L==d@

，否则我们可能会增加

L

让我们假设

dx

是这个维度，并将所有长度除以

dx

，因此

a=d@/dx

的

为

y

和

z

（以及

ax=1

，如果需要）。然后我们可以重写问题：

查找Nx、Ny、Nz、L，以便
-Nx*Ny*Nz≤ N
-Nx=dx/L
-纽约/纽约州≤ 是
-新西兰/新西兰≤ az
最大化立方体的体积：

dx^3*（Ny/Nx）*（Nz/Nx）

因此，您的问题是如何在保持

Nx*Ny*Nz的同时，使每侧立方体的数量比尽可能接近大小比≤ N

——就像你本能地接近你的

N=1000

案例一样

算法建议：例如，您可以迭代增加

Nx

并为@in{y，z}设置

N@=floor（a@*Nx）

，而

Nx*Ny*Nz≤ N

，保留最佳解决方案

最优解 请注意，如果您的比率

ay

和

az

是合理的，就像在您的示例中一样，可能很容易找到最小化的精确解决方案

让我们为@in{y，z}写

a@=n@/m@

，然后我们可以通过设置

Nx=lcm（my，mz）

-分母的最小公倍数来找到精确解。注意，在

dx，dy，dz

都是整数的情况下，这意味着

Nx=dx/gcd（dx，dy，dz）

因此，如果

Nx^3*ax*ay=lcm（my，mz）^3*ny*nz/（my*mz）≤ N

，此解决方案也符合

N

的约束条件。要完整地写出来：

Nx = lcm(my, mz)
L  = dx / Nx
Ny = Nx * ay
Nz = Nx * az

在您的示例中，对于3D情况，您有

ay=az=1

和

Nx=Ny=Nz=1

的解决方案，而对于2D情况，我们只有

az=1/2

的尺寸x和z，您有

Nx=2

和

Nz=1

现在您可以添加更多的立方体，因为

Nx*Ny*Nz中有很多空闲空间≤ N

约束。特别是，您可以将每个坐标乘以

floor（cbrt（N/（Nx*Ny*Nz））

，在第一种情况下，它是

floor（cbrt（30/1））=3

，在2D情况下是

floor（sqrt（1000/2））=22

将结果总结到您的示例中：

空格={3,3,3}N=30:Nx=3，Ny=3，Nz=3，L=1
空格={100，50}N=1000:Nx=44，Nz=22，L=2.7272

启发式 如果我们找不到确切的答案，我们可以做出有根据的猜测。为了避免迭代

Nx

值，或者只是为了进行合理的初始猜测

请注意，分母越大，具有相同分母的两个分数之间的间隔越小。这并不意味着给定一个你想要近似的实数，你的近似精度与分母的大小成正比，但是当近似许多实数时，平均精度会更好

Nx = floor(crbt(N / (ay * az)))
L  = dx / Nx
Ny = floor(Nx * ay)
Nz = floor(Nx * az)

Nx = floor(crbt(N * dx * dx / (dy * dz)))
L  = dx / Nx
Ny = floor(dy / L)
Nz = floor(dz / L)