Algorithm 覆盖网格中细胞所需的最小激光数量？

我在一次采访中被问到这个问题。我对这个问题做了一些修改，以避免它被明确地谷歌搜索到，但要点是：

您将获得一个

nxm

网格。网格中的某些单元格是“邪恶”（用数字1表示），其余单元格是“好”（用0表示）。在每个

N

行和每个

M

列上放置激光器，当打开激光器时，激光器将杀死其各自行或列中的所有单元格，例如，如果：

   L1 L2 L3 L4
L5  0  1  0  0
L6  0  1  0  1
L7  0  1  1  0
L8  0  0  0  0

您可以启用以下任一选项（L2、L3、L4）：

或者您可以打开（L2、L6、L7）：

如果一组激光器能够杀死所有邪恶的细胞，那么它就被称为“GoodConfig”。请注意，您始终可以打开一行或一列的所有激光器并杀死所有东西，这将是“GoodConfig”，但打开激光器是昂贵的，杀死好的细胞是不好的

“GoodConfig”的最小尺寸是多少，即在杀死所有邪恶细胞之前我们可以打开的激光器的最少数量

什么是“GoodConfig”，它可以最大限度地减少被杀死的好细胞的数量

---

这个问题可以转化为二部图上的最小顶点覆盖问题

考虑一个图形：顶点是行（一部分）和列（另一部分）。当且仅当对应的单元格

（行，列）

为邪恶时，顶点

行

和

列

之间存在一条边

我们现在的问题是找到一组具有最小可能大小的顶点，这样图的每个边（前单元格）在集合（行或列）中至少有一个顶点

---

根据，我们可以在我们的二部图中找到最大匹配，然后在匹配的每一条边上精确地标记一个顶点，从而得到的顶点集覆盖了上述意义上的图。特别是，最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小。

为了回答1）和2），我将采用以下方法，假设N或M很小（say看起来本质上是一样的。当R=C=1@01时看起来像这个问题。Zhou：我似乎记得与TopCoder的问题完全相同，电路板尺寸高达18x18（因此2^18*18的解决方案也会通过），但目前找不到它。我认为18太低了……问题似乎非常接近于在O（n^3）中运行的匈牙利算法，您可能可以轻松地在n=1000时运行它。@wrick：当然，在O（n^3）中，二部匹配（以及二部最小顶点覆盖）很简单，在O（n^2*sqrt（n））中有点技术性。请注意“这样2^18*18的解决方案也会通过"我的评论的一部分。我删除了对另一种方法的批评。我不同意原始版本没有回答这个问题，但我详细阐述了这个版本。向下投票是因为问题有一个多项式时间解，这太慢了。Gassa没有明确提到它，但找到了稠密二部图的最小顶点覆盖h有一个次三次算法（因为一般问题是NP难的，所以这里的关键是二分体）.我知道最小顶点覆盖部分。我的观点是，它只回答最小数量的激光。如果有多个配置具有最小值，则二分匹配算法将选择其中任何一个-它不会最小化被杀死的好细胞数（问题2）。fixmeasap已证明2）在这里是NP难的：

   L1 L2 L3 L4
L5  0  x  x  x
L6  0  x  x  x
L7  0  x  x  x
L8  0  x  x  x

   L1 L2 L3 L4
L5  0  x  0  0
L6  x  x  x  x
L7  x  x  x  x
L8  0  x  0  0

#define CONTAINS(mask, bit) (mask & (1 << bit))

void Solve(int matrix[MAX][MAX], int N, int M) {
    vector<int> best;
    int i, j, best_good_cells;
    for (int rows_mask = 0; rows_mask < (1 << N); rows_mask++) {
        vector<int> lasers;
        int good_cells = 0;
        for (j = 0; j < M; j++) {
            bool add_column = false;
            int good = 0;
            for (i = 0; i < N; i++)
                if (!CONTAINS(rows_mask, i)) {
                    if (matrix[i][j] == 0)
                        good++;
                    else
                        add_column = true;
                }
            if (add_column) {
                lasers.push_back(j);
                good_cells += good;
            }
        }
        for (i = 0; i < N; i++)
            if (CONTAINS(rows_mask, i))
                lasers.push_back(M+i);
        if (best.size() == 0 ||
                best.size() > lasers.size() ||
                (best.size()==lasers.size() && good_cells < best_good_cells)){
            best = lasers;
            best_good_cells = good_cells;
        }
    }
    cout << "Select lasers:";
    for (auto i: best)
        cout << " " << i+1;
    cout << endl;
}