Algorithm 如何将布尔函数转换为二进制决策图

假设我有以下布尔函数：

or(x, y) := x || y
and(x, y) := x && y
not(x) := !x
foo(x, y, z) := and(x, or(y, z))
bar(x, y, z, a) := or(foo(x, y, z), not(a))
baz(x, y) := and(x, not(y))

现在我想从它们中构造一个。我已经阅读了几篇论文，但没有找到如何从这些嵌套的逻辑公式中构造它们

据说布尔函数是有根的、有向的、非循环的图。它有几个非终端和终端节点。然后它说每个非终结节点都由一个布尔变量（不是函数）标记，该变量有两个子节点。从上面的函数定义中，我不知道布尔变量是什么。从节点到子节点

a

或

b

的边分别表示将节点分配到0或1。如果同构子图被合并，并且其两个子图同构的节点被移除，则称为reduced。这是一个降阶二元决策图（ROBDD）

从这一点以及我所遇到的所有资源来看，我一直无法理解如何将这些函数转换为BDD/ROBDS：

foo(1, 0, 1)
bar(1, 0, 1, 0)
baz(1, 0)

或者可能是这些需要转换：

foo(x, y, z)
bar(x, y, z, a)
baz(x, y)

寻求帮助，解释我需要做什么，以便将其转换为有根的、有向的、非循环的图。了解数据结构的外观也会有所帮助。似乎就是这样:

var nonterminal = {
  a: child,
  b: child,
  v: some variable, not sure what
}

---

但接下来的问题是如何从这些函数

foo

、

bar

和

baz

构建图形。您可以通过评估所有变量赋值来实现，例如

foo(0,0,0) = 0
foo(0,0,1) = 0
foo(0,1,0) = 0
...

然后创建图形，从根开始。每个函数参数都会获得一条带有赋值的边，叶节点会带有结果值：

x0 -0-> y0 -0-> z0 -0-> 0
x0 -0-> y1 -0-> z1 -1-> 0
x0 -0-> y2 -1-> z2 -0-> 0
...

合并节点（y0=y1=y2，z0=z1）：

减少节点（有一些规则允许加入节点或跳过节点）。例如，由于根的

0

总是指向叶的

0

，因此您可以跳过后面的决定：

x0 -0-> 0
...

---

请注意，必须使用变量名标记节点，以便在以下图形边上分配变量名。该算法并不十分复杂（当然存在一个更有效的算法），但我希望它能将策略可视化。

基本逻辑运算和、或、异或等都可以在BDD表示的函数之间进行计算，以生成BDD表示的新函数。除了处理终端的方式外，这些算法都很相似，大致如下：

• 如果结果是端子，则返回该端子
• 如果缓存了

  （op，A，B）

  ，则返回缓存结果
• 区分3种情况（实际上你可以概括这一点）

• A.var==B.var

  ，创建一个节点

  （A.var，OP（A.lo，B.lo），OP（A.hi，B.hi））

  ，其中

  OP

  表示递归调用此过程

• A.var

  ，创建一个节点

  （A.var，OP（A.lo，B），OP（A.hi，B））

• A.var>B.var

  ，创建一个节点

  （B.var，OP（A，B.lo），OP（A，B.hi））

• 缓存结果

“创建节点”当然应该自行消除重复数据，以满足“减少”的要求。分为3种情况，以满足订购要求

通过应用这种自底向上的方法，可以在BDD中转换由简单操作组成的复杂函数，每次转换时只需执行BDD的简单组合。当然，这会生成不属于最终结果的节点。变量和常量具有平凡的BDD

例如，

和（x，或（y，z））

是通过先深入到树中，为变量

x

（一个普通节点，

（x，0，1）

）创建一个BDD，然后为

y

和

z

，执行

或
（上述算法的一个实例，其中只有第一步真正关心操作是
或
）在表示
y
和
z
的BDD上，然后对结果执行
和
，BDD表示变量
x
。具体结果取决于您选择的变量顺序

对自身内部的其他函数求值的函数需要函数组合（如果已经用BDD表示调用的函数）对于BDD，这是可能的，但有一些最坏的情况，或者只是内联调用函数的定义。
存储BDD的数据结构可以基于
格式的三元组（level，u，v）
where
u
当
级别的变量为FALSE时，布尔函数是什么节点；
v
当
级别的变量为TRUE时，布尔函数是什么节点

可以使用Python包（
pip install dd
安装纯Python实现）对所描述的示例进行编程

从dd导入自动引用为_bdd
bdd=_bdd.bdd（）
bdd.declare（'x'，'y'，'z'，'a'））
x\u或y=bdd.add\u expr（'x\/y'）
x_和y=bdd.add_expr（'x/\y'）
not_x=bdd.add_expr（“~x”）
#变量重命名：x到y，y到z
let={'x'：'y'，'y'：'z'}
y_或z=bdd.let（let，x_或y）
#使用“BDD.apply”方法`
foo=bdd.apply（'and'，bdd.var（'x'），y_或z）
#使用公式
foo \=bdd.add \'x/\（y\/z）'
断言foo==foo_
#使用BDD节点引用的字符串表示法
foo\uu=bdd.add\u expr（'x/\{u}'。格式（u=y\u或uz））
断言foo==foo_
bar=bdd.apply（'or'，foo，~bdd.var（'a'））
bar=bdd.add_expr（“{u}\/~a.”格式（u=foo））
断言条==条_
let={'y'：~bdd.var（'y'）}
baz=bdd.let（let，x_和y）
baz=bdd.add\u expr（'x/\~y'）
断言baz==baz_
#使用GraphViz绘制图表
bdd.dump（'foo.png'，[foo]）

此示例包括在BDD之间直接应用运算符（使用方法
BDD.apply
或解析调用这些运算符的布尔公式）和函数组合
x0 -0-> 0
...