Algorithm 确定有向图是否为单连通的最有效方法是什么？

我正在处理一个赋值问题，其中一个问题要求导出一个算法来检查有向图G=（V，E）是否是单连通的（对于V的所有不同顶点u，V，V，最多有一条从u到V的简单路径）

当然你可以用暴力检查，这就是我现在正在做的，但我想知道是否有更有效的方法。有人能给我指出正确的方向吗？

你试过了吗

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复杂性O（v^2），O（v）dfs是不重复的。

这个问题有一个更好的答案。你可以在O（|v | ^2）中完成。你可以在线性时间内完成

首先找到G的强连通分量。在每个强分量中，搜索以找到以下情况： 1） 如果此组件中有前缘，则它不是单独连接的， 2） 如果此组件中存在交叉边，则它不是单独连接的， 3） 若树中至少有两条后边以顶点u为根，指向u的适当祖先，那个么它不是单连通的

这可以在O（E）中完成。（我认为除了案例3，我不能很好地实施它！！）

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如果上述情况均未发生，则应检查G^SCC（图G，强组件替换为单个节点）上是否存在交叉边或前向边，因为我们没有后缘，可以通过在O（| V | ^2）中重复此图的每个顶点上的dfs来完成此操作。

从每个顶点运行一次dfs。图是单连通的if和 仅当一个区域内没有前向边和交叉边时 组成部分

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复杂度：O（V.E）

我不同意它的复杂度是O（V^2），因为在DFS中，我们并不是对每个顶点都调用它，正如《算法简介》一书中所述，语法是DFS（G）。与BFS不同，我们只对整个图调用DFS，而不对任何单个顶点调用DFS。因此，在这种情况下，根据我的说法，我们必须通过调用DFS一次来检查它。如果再次遇到访问的顶点，则该图不是单独连接的（我们必须为每个断开连接的组件调用它，但它已经包含在代码中）。因此，复杂性将是O（V+E）。因为这里E=V，所以复杂性应该是O（V）。

我想到了这一点： 1） 从任何顶点运行DFS，如果DFS中的所有顶点都被覆盖，且没有前向边（不能有交叉，否则不会覆盖所有顶点），则它可能是一个潜在的候选顶点

2） 如果在DFS中找到的某个顶点（级别j）有一个到级别i的后缘，则在其后找不到任何其他顶点，该顶点的后缘应朝向级别小于j的任何顶点，并且每个顶点都可以到达根（使用第二个DFS检查）

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如果这是正确的，它在线性时间内完成

阅读。这确实解释得很好。

看看简单路径的定义。循环图可以是单连通的<代码>DFS不适用于单独连接的

A->B，B->A

下面的文章使用强连通组件来解决这个问题

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我在别处读到，在整个树上运行一次DFS就足够了。是否有必要在每个顶点上运行？对每个未访问的顶点重复此操作就足够了，但您必须在下游重新遍历所有对象（即使是标记为“未访问”的对象）。因此，您需要“曾经访问过”和“这次访问过”标记。运行DFS一次是否就足够了，在运行DFS之后，我们检查是否没有交叉边和前向边，然后我们就完成了？是否存在这样一种情况，即运行一个DFS并检查交叉边和前向边是不够的，因为任意两个节点u和v之间的任何多条路径都将显示在我们的DFS中？如果交叉边位于DFS林中的树之间，则交叉边不违反单连通图。交叉边可能位于从u到v的唯一路径上。在这种情况下，运行DFS一次是否足够，并检查是否存在任何前向边或树内交叉边？那将是O（V+E）…如果交叉边是从另一棵树的根到另一棵树的子树的话会怎样。这是一个完全合法的边缘。为什么后端相关？他们不是从来没有走过一条简单的路吗？@pkoch，他已经说过，在3）中，如果树的两个后缘都扎根于顶点u，指向u的正祖，那么它就不是单独相连的，因为有一个后边的有向环仍然是一个单连通图。第三点可以简单地用一个数组来计算某个顶点的后边数。每当后缘指向SCC中的适当祖先时，我们将arr[v]增加1。当它达到>=2时，我们将其打破。这个问题非常类似于按顶点的时间线性顺序寻找唯一路径图。必须使用SCC来解决此类问题。使用SCCs和SCC图可以简化许多检查。对于那些无法打开postscript链接的人，引用：单连通性的O（| V | ^2）算法，Samir Khuller。

Run DFS for every vertex in the graph as source
    If a visited vertex is encountered again, the graph is not singly connected
repeat for every unvisited vertex.
The graph is singly connected.