Algorithm 在二维块栅格中查找矩形

假设我有一个由块组成的网格，7x12。我们使用颜色“*”、“%”、“@”和一个空单元格“-”

1 2 3 4 5 6 7
- - - - - - -  1
- - - - - - -  2
% % - - - - -  3
% % - - - - *  4 
% % - - - @ %  5
@ @ @ - - @ %  6
@ @ * * * - *  7
* * * % % % %  8 
% @ @ % * * %  9
% @ % % % % %  10
* * * % % @ @  11
* * @ @ @ @ *  12

我想在这个网格中找到一个最小尺寸的矩形，我能找到的最大的，然后再更小，直到找不到大于或等于最小尺寸的矩形

在此示例中，考虑最小大小1x4、4x1、2x2，因此1x3无效，但2x3是无效的。如果我们想要最大的矩形，我们会发现：

• 4x1 at（4,8）
• （3,10）处的5x1
• 2x3 at（1,3）
• 2x2 at（6,1）
• 2x2 at（1,11）
• 4x1 at（3,12）

请注意，矩形不能在彼此的空间中，它们不能重叠。例如，（4,10）处的2x2矩形没有提及，因为它将与（3,10）处的5x1矩形重叠

所有矩形都是完全有效的矩形：它们等于或大于最小尺寸，每个矩形的所有块都具有相同的颜色

我想要的是以编程方式完成这项工作。当你告诉某人在网格中查找矩形时，他会毫不犹豫地立即找到它们。问题是，我怎样才能写出一个同样的算法呢

我考虑过暴力，但我需要算法尽可能快地执行，因为它需要在有限的（移动）设备上在很短的时间内大量执行

---

我在网上看到了很多关于矩形的问题，但是我很惊讶这个问题还没有被问到。我想的太难了，还是从来没有人想做这样的事情？

注意：这是在假设您试图找到最大的

k

矩形的情况下运行的

我们知道，在最坏的情况下，我们必须至少查看网格中的每个节点一次。这意味着我们最好的情况下最差的演员阵容是

O（len*wid）

您的蛮力将是

O（len*len*wid*wid）

，使用“检查某一点上的矩形是

O（len*wid）

，您可以多次这样做

O（len*wid）

可能你发现情况并非如此，因为每次你找到一个矩形，你就有可能减少问题空间。我觉得“检查每个矩形”的蛮力方法将是最好的方法。不过，你可以做一些事情来加快速度

基本算法：

for(x = 1 .. wid) {
    for(y = 1 .. len) {
        Rectangle rect = biggestRectOriginatingAt(x,y);
        // process this rectangle for being added
    }
}

• 跟踪最大的

  k

  矩形。在进行过程中，您可以搜索符合条件的矩形的周长

  Rectangle biggestRectOriginatingAt(x,y) {
      area = areaOf(smallestEligibleRectangle); // if we want the biggest k rect's, this
                                                // returns the area of the kth biggest
                                                // known rectangle thus far
  
      for(i = 1 .. area) {
          tempwid = i
          templen = area / i
  
          tempx = x + tempwid
          tempy = y + templen
  
          checkForRectangle(x,y,tempx,tempy); // does x,y --> tempx,tempy form a rectangle?
      }
  
  }
  

这允许您在大型搜索结束时获得较大的性能提升（如果是小型搜索，您不会获得那么多，但您不在乎，因为这是小型搜索！）

这对于更多的随机分布也不起作用

• 另一个优化是使用绘画填充算法来查找最大的连续区域。这是

  O（len*wid）

  ，这是一个很小的成本。这将允许您搜索最可能的区域，以查找要填充的大矩形

---

请注意，这两种方法都没有减少最坏的情况。但是，它们确实减少了实际的预期运行时间。

分别调用输入数组的宽度和高度W和H

运行以确定最大矩形，而不是仅跟踪单个最大矩形，对于W*H矩阵中的每个（x，y）位置记录，计算（一个或所有）左上角为（x，y）的最大矩形的宽度和高度，并在运行时更新这些值

循环遍历此矩阵，将其中每个足够大的矩形添加到按区域排序的区域（宽度*高度）

从该堆中读取条目；它们将以递减的区域顺序生成。读取每个左上角为（x，y）、宽度为w、高度为h的条目时，将矩形中包含的每个wh位置标记为wh位数组中的“已使用”。从堆中读取矩形时，必须丢弃包含“已使用”的所有矩形“正方形以避免产生重叠的矩形。只检查每个候选矩形的四条边就足够了，因为候选矩形可以与另一个矩形重叠的唯一其他方式是，如果后一个矩形完全包含在其中，这是不可能的，因为我们是按面积递减顺序读取矩形

这种方法是“贪婪”的，因为如果有多种方法将纯色区域雕刻成最大的矩形，它不能保证选择最大的矩形序列。（例如，可能有几个矩形的左上角位于（10,10），面积为16:16x1、8x2、4x4、2x8、1x16。在这种情况下，一个选择可能会产生较大的“下游”矩形，但我的算法不能保证做出该选择。）如果有必要，您可以使用回溯找到这一总体最优的矩形序列，尽管我怀疑这在最坏的情况下可能会非常缓慢

---

我提到的最大矩形算法是为单色矩形设计的，但是如果你不能使它适应你的多色问题，你可以在开始第2步之前为每种颜色运行一次。

我必须为我的第一人称射击手解决一个非常类似的问题。我在输入中使用它：
[[]
[]X][][]
[]X][X][X][X][X][X][X][X]
[][X][X][X][X][X][][][][] []X][X][X][X][]
[]X][X][X][X][]
[][X][[]
[[]

我在输出中得到：
[[]
[…]A[…]A[…]
[]B][G][G][G][F][E][E]
[][[G][G][G][F][][]]
[][D][G][G][G][G][D][b][b][b][b][b][b] [][D][G][G][G][G][D][b][b][b][b][b][b] [][C][]
[[]

这样更好。源代码（在GNU通用公共许可证版本2下）是，被大量评论。您可能需要根据自己的需要对其进行一些调整，就像j_random_hacker建议的那样。

我自己的解决方案是

    ****|***|***                ************
    ****|***|***                ************
    ****#####***                ----#####---
    ****#####***        vs      ****#####***
    ****#####***                ----#####---
    ****|***|***                ************