Arrays 两个数组的最大子集和

我甚至不确定这是否可以在多项式时间内完成

问题:

给定两个实数数组

A = (a[1], a[2], ..., a[n]), 
B = (b[1], b[2], ..., b[n]),  (b[j] > 0, j = 1, 2, ..., n)

和一个数字

k

，找到

a（a'=（a[i（1）]的子集
a'
，
a[i（2）]，…，a[i（k）]

，它精确地包含

k

元素，使得

（和a[i（j）]/（和b[i（j）]

最大化，其中

j=1，2，…，k

例如，如果

k==3

，并且

{a[1]，a[5]，a[7]}

是结果，则

(a[1] + a[5] + a[7])/(b[1] + b[5] + b[7])

---

应大于任何其他组合。有什么线索吗？

假设

B

的条目是肯定的（听起来这个特例可能对您有用），那么就有一个

O（n^2 log n）

算法

让我们首先解决一个问题，即对于特定的

t

，是否存在这样的解决方案

(sum a[i(j)])/(sum b[i(j)]) >= t.

清除分母后，此条件等于

sum (a[i(j)] - t*b[i(j)]) >= 0.

我们所要做的就是选择

a[i（j）]-t*b[i（j）]

的

k

最大值

---

现在，为了解决

t

未知时的问题，我们使用了一种动力学算法。将

t

视为一个时间变量；我们感兴趣的是一维物理系统的演化，其中

n

粒子具有初始位置

a

和速度

-B

。每个粒子最多一次与其他粒子交叉，因此事件数为

O（n^2）

。在交叉点之间，

sum（a[i（j）]-t*b[i（j）]

的最佳值线性变化，因为

k

的相同子集是最佳的。

如果b可以包含负数，那么这是NP难的

由于该问题的NP难度：

给定k和数组B，B的大小k有一个子集和为零

在这种情况下，A变得无关紧要

---

当然，从你的评论来看，B似乎必须包含正数。

我猜这是NP难问题，99.99%的几率是这样，但我能问一下你在哪里看到这个问题吗？总之，这个问题很好。谢谢你的回答。我将一个真正的负载平衡问题简化为这个抽象版本。我在这个问题上花了两天多的时间。现在，我也有一种感觉，它是NP难的。有

n

choose

k

可能的比率，因此设置了复杂性的上限。我正在考虑一种方法，从

a[I]/b[I]

开始选择最大的比率，然后选择使

k=2

案例尽可能大的索引。这样，您就必须在该步骤上比较

n-1

比率。然后继续选择第三个索引。一旦你选择了

k

指数，证明这一点总是能给出最佳比率可能很难（或者可能不是真的！），但尝试证明可能会提供一些见解。嗨，约翰，非常感谢你的回答。昨天我试着证明你的算法的正确性，但最后得到了一个反例。检查A=[10,2,1,0.2]，B=[7,3,2,1.34]和k=3。A[i]和B[i]是零还是负？我怀疑有一种

O（n^2）

算法，它使用线的排列和已经开发的计算几何机制来处理它们。+1极好的答案。我从没见过这样的事。我很好奇，这种方法是否可以应用于更大的一类问题，以及这种类型的解决方案叫什么……或者你是从稀薄的空气中提取出来的？@JohnPS动力学算法是计算几何学家青睐的一种设计技术。当你有一个连续的参数（解释为时间）和一个“物理系统”时，它们是适用的，除了在有限的时间内变化外，变化很好。嗨！谢谢你的回复。对不起，我忘了提到B只包含正数。