C、 西格玛的时间复杂性？

如何找到以下代码的时间复杂度：

（很抱歉添加图像，我将在访问笔记本电脑后重新编辑我的问题）

到目前为止我所做的：

第一个循环迭代n次，第二个i次，第三个log（i*j）次，因此简化后得到：

对于i*logi+n*，σ从i=0到n（对于logi，σ从j=0到i）

---

但为什么这等于O（n^2 log（n））？

方法1：

在最坏的情况下：

第一个循环执行n次。 第一个循环的时间复杂度=

O（n）

第一和第二循环的时间复杂度 =

1+2+3+4+…+n

=

O（n*（n+1）/2）

=

O（n^2）

我们可以计算第三个循环的复杂度，并将其与先前计算的复杂度相乘，因为第三个循环不会影响（更改第一个或第二个循环的任何变量）先前循环的变量

第三个循环的时间复杂度=

log（i*j）

=

log（i*j）

=

log（n*2）

=

2log（n）

=

log（n）

最终复杂性=

O（n^2*（log（n））

方法2：

如果我们用log（i*j）来表示，它看起来会像这样

log(1) + log(2) + log(3) + ... + log(n*(n-1))

=

请参阅下面的结果

log((n-1)!) = nlogn

最终复杂性：

O(n* nlog(n))

=

---

如果我们观察最外面的2个循环，我们会发现有

1+2+3…+n-1

迭代。使用关于级数求和的标准事实（或者如果你想深入证明的话，使用归纳法），我们可以看到这

O（n^2）

最里面的循环是

log（n）

。证明这一点的最简单方法是使用。您可以按以下形式编写一个循环：

LoopIterations（n）=LoopIterations（n/2）+1

其中，

LoopIterations

是从起点n开始的迭代次数。主定理告诉我们，

LoopIterations（n）

是

O（log（n））

一个微妙之处是，我们递归的初始条件是

LoopIterations（n^2）

，但由于

log（n^2）=2 log（n）

，这不会影响最终的计算复杂性，因为我们可以忽略常量因子

---

@Kaushal介绍了为什么可以将上述两个结果相乘得到O（n^2 log（n）），不过我想补充一点，如果你想说服自己，你可以对这类问题进行归纳，尽管这可能会很长。

第三个循环迭代

log（I*j）

次，因为

k/=2

@bereal更正了那部分（忘了写了），谢谢！为什么最后一行之前的那一个是log（n）你是怎么得到的？乘法日志中的日志和1*2*…*n^2的总和不一定是n！你也碰巧得到了正确的答案。如果你已经对所有

log（i*j）进行了求和

术语那么你不应该将结果乘以它们的数量。另外，正如OP正确指出的，

log（1）+log（2）+log（3）+…+log（n*（n-1））

的和不等于

O（log（n））

，而是等于

log（[n*（n-1）]

（阶乘），然后可以扩展到

O（n^2*log（n））

with。这与之前的答案所采用的方法完全相同（该答案也是偶然得出正确答案的），这是不正确的，因为它不能普遍应用，因为循环不是独立的。您对每个

log（i*j）

项求和的原始想法是正确的，但数学是错误的。

O(n* nlog(n))

O(n^2)*log(n)