Colors 寻找四元数，表示从一个向量到另一个向量的转换 简介。

之前，我讨论过如何将rgb三元组转换为四元数。在那个问题之后，我设法得到了单位四元数，但我怀疑它们的内部结构。没有简单的方法来操作它们，并分离亮度和色度，因为这是单位长度的四元数。根据我对它的感觉，亮度应该被编码在真实的部分，或者整个量级；颜色“色度”信息应编码在虚部

今天，我决定采取另一种不同于上面链接中第一种方法的方法来改进。我认为它可能会成功，因为四元数不仅可以存储旋转（单位四元数），还可以存储比例。首先，我将首先解释我的下一个想法。在下面的解释中，我将使用GLSL着色器语法

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方法描述和问题正文。 对于图像的某些像素，让我们在单位立方体中简化一个3D矢量

vec3 u

，其中正坐标位于闭合范围[0.0,1.0]，表示完整的rgb颜色空间。因此，现在

u

的坐标、

u.x

、

u.y

和

u.z

将相应地表示该像素的红色、绿色和蓝色值。然后让我们取一个纯白色向量

constvec3v=vec3（1.0,1.0,1.0）。让我们定义一些四元数
q
，这样我们的向量
u
就是“
v
，用四元数
q
旋转和缩放”。简单地说，
q
必须回答“如何转换
v
，以获得最初构思的颜色
u
？”的问题。让我们介绍“旋转和缩放”操作的函数：
vec3q2c（在vec4q中，在vec3v中）
。我称之为“四元数到颜色”转换器

编写
q2c（q，v）
非常简单，：
q2c（q，v）=（q*vec4（v，0.0））*q'
。这里，“
*
”运算符表示：；让我们把它变成一个函数
vec4 qmul（在vec4 q1中，在vec4 q2中）
。而“
q'
”表示
q
，让我们将其设置为
vec4qconj（在vec4q中）
。省略它们的简单实现（您可以在完整的源代码中找到），我们将使用经典代码：

vec4 q2c(in vec4 q, in vec3 v) {
    return qmul(qmul(q, vec4(v, 0.0)), qconj(q));
}

现在我们有了
q2c（q，v）
函数，它通过旋转和缩放一些选定的三维向量
v
，将四元数
q
转换为颜色

问题是如何找到四元数
q
？

从程序员的角度来看，目标是编写反向函数vec4 c2q（在vec3 u中，在vec3 v中）

——一个相应的“颜色到四元数”转换器

请注意，如果没有很好的理由，您不应该触摸q2c（）。例如，其逻辑中存在严重缺陷，导致“无法解决任务”，您可以证明这一点

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如果你的答案是正确的，你怎么检查呢？ 事实上，如果您能够前后转换，那么检查方法将产生于这样一个事实，即您将获得初始值。因此，对于任何非零长度

v

，

u

的检查条件为，必须始终等于

q2c（c2q（u，v），v）

v

必须具有非零长度，因为不能“缩放零”以获得“某物”

为了让事情变得简单，我已经准备好了，使用shadertoy.com服务

你需要一台像样的电脑，可以上网，还有一个支持webGL的网络浏览器（我用的是Chrome）。这个程序可以在任何GPU上运行，甚至可以嵌入英特尔的处理器。它甚至可以在我的低端智能手机上使用

为了测试您的答案，您应该将您建议的公式（用

GLSL

语法编写）放入

c2q（）

函数中。然后按应用按钮，您的更改将生效：

左侧的图像表示一些未更改的源像素。右半部分将包含像素，通过

q2c（c2q（））

前后变换。显然，两半在视觉上必须相等，您不应该注意到任何垂直线。可能会出现一些数学上的（不明显的）错误，但这仅仅是由于浮点的性质——它的有限精度和可能的舍入误差

请随意编辑和试验，更改将只在本地、在您的计算机上进行，您不能破坏任何东西。如果视频未在第一次打开时播放（shadertoy bug）-尝试暂停/取消暂停。享受吧

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c2q（）大厅
如果一切正常，则图像的右侧（已处理图像）应与左侧（原始图像）相等。在这里，我将回顾不同的结果，这些结果是通过在
c2q（）
实现中放置某物而不是
xxxxx
获得的：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    return xxxxx;
}

让我们继续吧


起初，我认为这一定行得通：
vec4（十字（u，v），点（u，v））
：

其中一项：
vec4（交叉（u，v），sqrt（点（u，u）*点（v，v））+点（u，v））
：

他暗示“别忘了规范化q”：
标准化（vec4（交叉（u，v）、sqrt（点（u，u）*点（v，v））+点（u，v））
：

@minorlogic的评论似乎更进一步：
按
sqrt（长度（v）/长度（u））
缩放所有
q
的组件，
vec4（十字（u，v）、点（u，v））*sqrt（长度（u）/长度（v））
：

交换比率后：
vec4（十字（u，v），点（u，v））*sqrt（长度（v）/长度（u））
：

我的尝试：

vec4 c2q(vec3 u, vec3 v) {
    float norm_q = sqrt(length(u) / length(v));
    vec4 u4 = vec4(normalize(u), 0.0);
    vec4 v4 = vec4(normalize(v), 0.0);
    return norm_q * (qmul(u4, v4 + u4) / length(v4 + u4));
}

与链接相比，
qmul
@rabbi76中存在（+/-）差异，这不是它，而是
q2c（）
的乘法顺序：
q*v*q'
vs
q'*v*q
。交换它，您将得到反向旋转和RGB->CMY颜色偏移。大约一个小时后我终于找到了。此外，规则也改变了，问题变得更加有趣和互动；-）@minorlogic测试，