将参数应用于Coq中的相等函数

假设我有两个函数

f

和

g

，我知道

f=g

。是否有一种正向推理的“功能应用”策略，允许我将

fa=ga

添加到一些

a

公共域中的上下文中？在这个精心设计的示例中，我可以使用

assert（fa=ga）

后跟

f_equal

。但我想在更复杂的情况下做类似的事情；e、 g

Lemma fapp : forall (A B : Type) (P Q : A -> B) (a : A), 
               (fun (a : A) => P a) = (fun (a : A) => Q a) -> 
               P a = Q a.

---

我对Coq或其策略没有太多经验，但为什么不使用辅助定理呢

Theorem fapp': forall (t0 t1: Type) (f0 f1: t0 -> t1),
  f0 = f1 -> forall (x0: t0), f0 x0 = f1 x0.
Proof.
intros.
rewrite H.
trivial.
Qed.

Lemma fapp : forall (A B : Type) (P Q : A -> B) (a : A), 
               (fun (a : A) => P a) = (fun (a : A) => Q a) -> 
               P a = Q a.
Proof.
intros.
apply fapp' with (x0 := a) in H.
trivial.
Qed.

---

根据你的描述和例子，我想我不能正确地推断出你的一般问题

如果你已经知道

H:f=g

，你可以用它来

重写H

，无论你想在哪里展示

f

和

g

，或者干脆

elim H

一次重写一切。你不需要断言辅助定理，如果你这样做了，你显然需要像断言或姿势证明这样的东西

如果该相等性隐藏在某个eta扩展下面，如您的示例中所示，请删除该层，然后按上面所述进行操作。以下是两种（多种）可能的方法：

intros A B P Q a H. assert (P = Q) as H0 by apply H. rewrite H0; reflexivity.

这通过

assert

ing等式，然后重写来解决示例证明问题。另一种可能是定义eta减少帮助器（尚未找到预定义的帮助器）并使用这些帮助器。这将更加冗长，但可能适用于更复杂的情况

如果你定义

Lemma eta_reduce : forall (A B : Type) (f : A -> B),
    (fun x => f x) = f.
  intros. reflexivity.
Defined.

Tactic Notation "eta" constr(f) "in" ident(H) :=
  pattern (fun x => f x) in H;
  rewrite -> eta_reduce in H.

您可以执行以下操作：

intros A B P Q a H. eta P in H. eta Q in H. rewrite H; reflexivity.

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（这个符号有点松散，可能会在错误的地方重写。不要依赖它，如果出现异常，请手动执行

模式和
重写）。
谢谢。我也不太了解Coq。我希望有一个更通用的、内置的解决方案。直觉上，这似乎是一件很简单的事情。这与函数的可扩展性有点相反。如果你想要（AFAIK）与
f\u equal
完全相反，那么有
equal\u f
。如果
需要导入Coq.Logic.FunctionalExtensionality.
，您可以通过
引入A B P Q A H来解决您的示例。在H.精确H.中应用与A相等的值。
。请注意，本模块添加了函数扩展性公理，它可能与您选择的公理兼容，也可能与您选择的公理不兼容。；-）谢谢我想这就是我想要的：）