coq中的属性定义

我在形式化以下形式的定义时遇到困难：定义一个整数，使某些属性保持不变

假设我正式定义了财产：

Definition IsGood (x : Z) : Prop := ...

现在我需要对表单进行定义：

Definition Good : Z := ...

假设我证明了具有该属性的整数存在且唯一：

Lemma Lemma_GoodExistsUnique : exists! (x : Z), IsGood x.

使用

IsGood

和

Lemma\u GoodExistsUnique

是否有一种定义

Good

的简单方法

由于该属性是在整数上定义的，因此似乎不需要额外的公理。在任何情况下，我看不出添加诸如选择公理之类的东西如何有助于定义

此外，我在形式化以下形式的定义方面遇到困难（我怀疑这与我上面描述的问题有关，但请说明是否与此相关）：对于每个

x

，都存在

y

，并且这些

y

对于不同的

x

是不同的。例如，如何使用

IsGood

定义有

N个不同的好整数：

Definition ThereAreNGoodIntegers (N : Z) (IsGood : Z -> Prop) := ...?

在现实世界的数学中，这样的定义时不时出现，因此，如果Coq适用于实用数学，这应该不难形式化。
第一个问题的简短回答是：一般来说，这是不可能的，但在您的特定情况下，是的

在柯克的理论中，命题（即
Prop
s）及其证明具有非常特殊的地位。特别是，通常不可能编写选择运算符来提取存在性证明的证人。这样做是为了使理论与某些公理和原则相兼容，例如证明无关，即给定命题的所有证明都是相等的。如果你想做到这一点，你需要把这个选择操作符作为一个额外的公理添加到你的理论中，如中所示

然而，在某些特定情况下，可以从抽象的存在性证明中提取证人，而无需重复任何其他公理。特别是，当所讨论的属性是可判定的时，可以对可数类型（例如
Z
）执行此操作。例如，您可以使用库中的
choiceType
界面来获得您想要的内容（查找
xchoose
函数）

尽管如此，我通常会建议不要以这种方式做事，因为这样会导致不必要的复杂性。直接定义
Good
可能更容易，无需借助于存在性证明，然后单独证明
Good
具有所寻求的属性

Definition Good : Z := (* ... *)
Definition IsGood (z : Z) : Prop := (* ... *)

Lemma GoodIsGood : IsGood Good.
Proof. (* ... *) Qed.

Lemma GoodUnique : forall z : Z, IsGood z -> z = Good.

如果您绝对希望使用存在性证明定义
Good
，您还可以将
引理的证明更改为在
类型中使用连接词，而不是
Prop
，因为它允许您直接使用
proj1\u sig
函数提取证人：

Lemma Lemma_GoodExistsUnique : {z : Z | Good z /\ forall z', Good z' -> z' = z}.
Proof. (* ... *) Qed.

至于你的第二个问题，是的，它与第一点有点相关。再一次，我建议您从_x
中写下一个函数
y_，类型为
Z->Z
，该函数将在给定的
x
下计算
y
，然后分别证明该函数以特定方式关联输入和输出。然后，通过证明
y\u from_x
是内射的，可以说
y
s对于不同的
x
s是不同的

另一方面，我不确定你的最后一个例子与第二个问题有什么关系。如果我能正确理解你想做的事情，你可以写下

Definition ThereAreNGoodIntegers (N : Z) (IsGood : Z -> Prop) :=
  exists zs : list Z,
    Z.of_nat (length zs) = N
    /\ NoDup zs
    /\ Forall IsGood zs.

这里，
Z.of_nat:nat->Z
是从自然数到整数的规范注入，
NoDup
是断言列表不包含重复元素的谓词，
Forall
是断言给定谓词（在本例中，
IsGood
）包含列表的所有元素的高阶谓词

最后，我建议不要在只涉及自然数的事情上使用
Z
。在您的示例中，您使用一个整数来讨论集合的基数，而这个数字始终是一个自然数