用eexists构造Coq中的记录项

假设在某个类型上有一个二元关系

R

Variable A : Type.
Variable R : A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> Prop.

Inductive X : Prop :=
| X_intro : forall a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9, 
R a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 -> X. 

Record Y : Prop :=
{ a0 : A; a1 : A; a2 : A; a3 : A; a4 : A;
  a5 : A; a6 : A; a7 : A; a8 : A; a9 : A;
  RY : R a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 }. 

X

和

Y

是稍有不同的命题，它们都断言

R

包含大约10个

A

类型的术语

Variable A : Type.
Variable R : A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> A -> Prop.

Inductive X : Prop :=
| X_intro : forall a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9, 
R a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 -> X. 

Record Y : Prop :=
{ a0 : A; a1 : A; a2 : A; a3 : A; a4 : A;
  a5 : A; a6 : A; a7 : A; a8 : A; a9 : A;
  RY : R a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 }. 

由于

X

和

Y

断言相同的东西，因此证明

X->Y

应该很容易。例如，我们可以通过显式构造

Y

的证明来实现

Theorem XY : X -> Y.
inversion 1. exists a0 a1 a2 a3 a4 
a5 a6 a7 a8 a9. apply H0. Qed.

但这似乎没有必要。最后一个命题由

倒置

on premise得出，它完全决定了10个术语，所以我们不必把它们的名字拼出来。我们可以推迟他们与现存者的认同，并在以后统一他们

Theorem XY' : X -> Y.
intro. eexists. inversion H. apply H0.

但统一在这里失败了。这就是我在应用H0之前的目标：

H0 : R a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

======================== ( 1 / 1 )
R ?46 ?47 ?48 ?49 ?50 ?51 ?52 ?53 ?54 ?55

---

R

的所有参数都是不确定的，因此应该可以将

-46

与

a0

统一，将

-47

与

a1

统一，依此类推。为什么会失败？

您收到的错误消息大致如下：

无法将“？a0”与“a0”统一（无法实例化“？a0”，因为“a0” 不在其范围内）

这是一个相当常见的错误。让我用一个简单的例子来解释

让我们从定义一个归纳数据类型开始，该类型封装了类型为

a

的值：

Variable A : Type.

Inductive Box :=
| elem : A -> Box.

接下来，让我们定义一个关于此数据类型的定理，该定理指出，如果有一个方框，则存在一个与方框中的内容相等的元素：

Theorem boxOk (b:Box) : exists a, match b with elem a' => a = a' end.

我们可以用你的方式证明这一点：

  eexists.
  destruct b.
  Fail reflexivity.
Restart.

但是

reflectivity

失败，并显示可怕的错误消息：

无法将“？a”与“a”统一（无法实例化“？a” 因为“a”不在其作用域中：可用参数为 “要素a”）

那么这里发生了什么？这些战术构成的术语如下所示：

ex_intro _ ?a (match b with elem a => eq_refl end).

match b with elem a => (ex_intro _ ?a eq_refl) end.

您现在要求Coq用

a

填写

？a

，因为

a

未在

？a

的范围内定义，因此无法使用。此错误最常见的问题是调用

eexists

太早

因此，我们应该先

destruct

，然后调用

eexists

。它的工作原理是：

  destruct b.
  eexists.
  reflexivity.
Qed.

这些战术构成的术语如下所示：

ex_intro _ ?a (match b with elem a => eq_refl end).

match b with elem a => (ex_intro _ ?a eq_refl) end.

现在

a

在

？a

的范围内，可以很容易地填写

在您的示例中，您应该执行以下操作（这实际上是您在手册校对中所做的操作）

---

将来：请尽量减少您的测试用例，例如，我相信三元关系就足够了。此外，请不要参考自动生成的名称，如

H0

。这使得不同Coq版本的用户很难帮助您。