Coq 在证明定理时循环

在用Debrijn指数和Coq中的代换形式化lambda演算之后，我试图证明以下定理

Theorem atom_equality : forall e : expression , forall x : nat,
  (beta_reduction (Var x) e) -> (e = Var x).

这些是表达式和beta缩减的定义

Inductive expression : Type :=
  | Var (n : nat)
  | Abstraction (e : expression)
  | Application (e1 : expression) (e2 : expression).
.
.

Inductive beta_reduction : expression -> expression -> Prop :=
  | beta_1step (x y : expression) : beta_1reduction x y -> beta_reduction x y
  | beta_reflexivity (x : expression) :  beta_reduction x x 
  | beta_transitivity (x y z : expression) : beta_reduction x y -> beta_reduction y z -> beta_reduction x z.

我在试图证明这个定理时陷入了一个循环

Proof.
intro e. induction e.
  - intros. inversion H.

在应用这些步骤之后，这些是我必须处理的假设和子目标

3 subgoals
n, x : nat
H : beta_reduction (Var x) (Var n)
x0, y : expression
H0 : beta_1reduction (Var x) (Var n)
H1 : x0 = Var x
H2 : y = Var n
______________________________________(1/3)
Var n = Var x
______________________________________(2/3)
Var n = Var n
______________________________________(3/3)
Var n = Var x

我可以用“反转H0”策略解决第一个子目标，用“自反性”策略解决第二个子目标。然而，当我达到第三个子目标时，这就是我剩下的

1 subgoal
n, x : nat
H : beta_reduction (Var x) (Var n)
x0, y, z : expression
H0 : beta_reduction (Var x) y
H1 : beta_reduction y (Var n)
H2 : x0 = Var x
H3 : z = Var n
______________________________________(1/1)
Var n = Var x

这正是我开始的。我必须证明y只能取H0的Var x的值才是可证明的

---

（beta_1还原是lambda演算的一步beta还原，beta_还原是它的自反传递闭包）

您被卡住了，因为在

H

上反转是不够的。相反，你需要对

H

进行一种归纳，为你提供传递性案例中所需的假设，从而让你得出结论。 然而，由于

H

的类型是一个归纳谓词，因此对其进行归纳是很困难的。事实上，如果您使用通常的

归纳法H.

，Coq将丢失

H

类型中有关指数的所有信息，尤其是

Var x

类型。这将使您的验证尝试失败

相反，您可以使用的是依赖于

依赖归纳

策略（您需要

要求导入程序。平等

才能使用此策略）。这种策略会自动处理索引不是变量的归纳谓词。在这里，你可以从

介绍e n H.依赖归纳H.

开始你的证明，其余的应该很简单

---

通常，当您在归纳数据类型（例如

表达式

）上定义归纳谓词（例如

beta_reduction

）时，您希望使用这些归纳谓词（此处

H

）使用假设，直接对谓词进行归纳（使用

依赖归纳

）正如我们在这里所做的那样，它非常强大。特别是，它专门说明了数据类型的哪些构造函数可以出现在归纳假设中，因此在某种程度上同时对数据类型执行归纳。

您被卡住了，因为在

H

上反转是不够的。相反，你需要对

H

进行一种归纳，为你提供传递性案例中所需的假设，从而让你得出结论。 然而，由于

H

的类型是一个归纳谓词，因此对其进行归纳是很困难的。事实上，如果您使用通常的

归纳法H.

，Coq将丢失

H

类型中有关指数的所有信息，尤其是

Var x

类型。这将使您的验证尝试失败

相反，您可以使用的是依赖于

依赖归纳

策略（您需要

要求导入程序。平等

才能使用此策略）。这种策略会自动处理索引不是变量的归纳谓词。在这里，你可以从

介绍e n H.依赖归纳H.

开始你的证明，其余的应该很简单

---

通常，当您在归纳数据类型（例如

表达式

）上定义归纳谓词（例如

beta_reduction

）时，您希望使用这些归纳谓词（此处

H

）使用假设，直接对谓词进行归纳（使用

依赖归纳

）正如我们在这里所做的那样，它非常强大。特别是，它专门说明了数据类型的哪些构造函数可以出现在归纳假设中，从而在某种程度上同时对数据类型进行归纳。

@Meven的回答很好地解释了错误，并给出了一个很好的解决方案。如果您想在不使用依赖归纳法的情况下完成此操作，您可以自己记住丢失的信息

Proof.
  (beta_reduction (Var x) e) -> (e = Var x).
  intros e x H.
  remember (Var x) as q eqn:Hq.
  induction H; rewrite Hq in *. 
  - inversion H.
  - reflexivity.
  - rewrite IHbeta_reduction1 in IHbeta_reduction2.
    apply IHbeta_reduction2.
    reflexivity.
    reflexivity.
Qed.

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@梅文的回答很好地解释了问题所在，并给出了一个很好的解决方案。如果您想在不使用依赖归纳法的情况下完成此操作，您可以自己记住丢失的信息

Proof.
  (beta_reduction (Var x) e) -> (e = Var x).
  intros e x H.
  remember (Var x) as q eqn:Hq.
  induction H; rewrite Hq in *. 
  - inversion H.
  - reflexivity.
  - rewrite IHbeta_reduction1 in IHbeta_reduction2.
    apply IHbeta_reduction2.
    reflexivity.
    reflexivity.
Qed.

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