coq中有限映射的相等性（使用map2定义）

假设我想在Coq中定义一类单项式。这些将是从某个有序变量集到nat的有限映射，其中，例如，x²y³由发送x到2，y到3的映射表示，其他所有内容都得到默认值零

基本定义似乎并不难：

Require Import
  Coq.FSets.FMapFacts
  Coq.FSets.FMapList
  Coq.Structures.OrderedType.

Module Monomial (K : OrderedType).
  Module M := FMapList.Make(K).

  Module P := WProperties_fun K M.
  Module F := P.F.

  Definition Var : Type := M.key.
  Definition Monomial : Type := M.t nat.

  Definition mon_one : Monomial := M.empty _.

  Definition add_at (a : option nat) (b : option nat) : option nat :=
    match a, b with
      | Some aa, Some bb => Some (aa + bb)
      | Some aa, None => Some aa
      | None, Some bb => Some bb
      | None, None => None
    end.

  Definition mon_times (M : Monomial) (M' : Monomial) : Monomial :=
    M.map2 add_at M M'.

End Monomial.

在这一点上，我想证明如下：

Lemma mon_times_comm : forall M M', mon_times M M' = mon_times M' M.

我可以用引理

Equal\u mapsto\u iff

证明这两个映射是相等的，但是我真的想说我的类型真的代表了单项式，乘法是真正可交换的（映射是

eq

）

我对Coq很陌生：这是一件合理的事情来证明吗

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此外，我意识到这可能取决于有限映射实现：如果

FMapList

是错误的选择，而另一个实现使这更容易，请告诉我

$ opam install coq-mathcomp-multinomials

它自然地证明了与你的

mon\u times\u comm

引理类似的结果：

From mathcomp Require Import ssreflect ssrfun ssrbool eqtype ssrnat seq.
From mathcomp Require Import choice finfun tuple fintype ssralg bigop.
From SsrMultinomials Require Import freeg mpoly.

Lemma test1 (n : nat) (m1 m2 : 'X_{1..n}) : (m1 + m2 = m2 + m1)%MM.
Proof.
move=> *.
by rewrite addmC.
Qed.

Lemma test2 (n : nat) (R : comRingType) (p q : {mpoly R[n]}) :
  (p * q = q * p)%R.
Proof.
move=> *.
by rewrite mpoly_mulC.
Qed.

请注意，多项式库是建立在与函数密切相关的库之上的

最后，请注意，该库非常方便地开发涉及多项式的Coq证明，但不直接允许使用这些Coq数据类型进行计算（

Eval vm\u compute in…

）。如果您对这方面也感兴趣，您可能还想看看这个库（尤其是它依赖于

fmap

）的理论）

我可以用引理Equal_mapsto_iff证明这两个映射是相等的，但我想说的是，我的类型真的代表了单项式，乘法是真正可交换的（映射是eq）

我对Coq很陌生：这是一件合理的事情来证明吗

此外，我意识到这可能取决于有限映射实现：如果FMapList是错误的选择，而另一个实现使这更容易，请告诉我

事实上，你走在正确的轨道上。您正在使用的集合类型不具有两个具有相同元素的集合在Coq中定义相等的属性。这样的集合被实现为二叉树，您可能有

节点（A，节点（B，C））节点（节点（A，B），C）

特别是，在Coq中，拥有一个好的“集合类型”是一项极具挑战性的任务，因为有几个问题，请参阅anwser了解更多的讨论

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做正确的代数确实需要很多复杂的基础设施，@ErikMD的指针是正确的，你应该看看数学竞赛和相关论文，了解最新技术。当然，继续试验

谢谢你的回答，真的很有帮助。然而，为了学习如何驾驶Coq，我真的在玩单项式等等。我花了一些时间研究multipoly.v，但我很难找到真正证明可交换性的位（或任何类似的）。因为我对这方面还很陌生，所以我还不想深入研究MathComp和SSReflect扩展。@RupertSwarbrick；实际上，作为一个起点，我不建议查看我在回答中提到的文件。如果您正在寻找一些关于如何在Coq中进行证明的参考资料，例如，您可能对这篇论文感兴趣，如果您特别对使用MathComp/SSReflect在代数中进行证明感兴趣，您可能想看看这篇论文，其中也包含练习。非常感谢您的回复。你确定定义上的平等吗？我使用的是FMapList，我认为它将一个映射表示为一个有序的关联列表（这是唯一的）。事实上，您应该能够在

FMapList

中为特定的实现证明它，但是请注意，由于接口问题，Coq没有提供引理。此外，定义的类型太弱，因为它既没有说明排序的规范性，也没有说明唯一性不变量。