在coq中定义多态归纳型树

为了证明我定义的树高是3，我一直在练习。我在网上找到了二叉树coq代码，但我定义的树不是二叉树。该节点包含任意数量的节点

树图片附件：

下面是我的树代码：

Inductive tree (X:Type) : Type :=
  | empty : tree X
  | branch : X -> list (tree X) -> tree X.

Arguments tree {X}.
Arguments empty {X}.
Arguments branch {X}.

Definition mytree :=
  branch 1 [ branch 5 [ branch 2 [empty] ] ;  branch 8 [empty] ;
          branch 7 [ branch 3 [empty];branch 4 [empty] ] ].

Fixpoint height {X: Type} (node: @tree X) : nat :=
  match node with
  | empty => 0
  | branch _ l => S (match l with 
                        | [] => 0
                        | h::t => S (height h)
                       end)
  end.

下面是单元测试。我试图证明我的树高是3（如图所示）

在我简化它之后，它显示为：6=3： 1子目标 ______________________________________(1/1) 6=3

我猜我之前定义的一个或多个函数是错误的。但我不确定是哪一个，为什么他们错了？ 有人能帮我一下或给我一些提示吗？多谢各位

PS：这项练习还有一个提示：

提示： 您可能需要使用let表达式定义相互递归的函数

下面给出了let表达式的工作原理： •命名递归函数（需要关键字修复）：

---

但我不知道如何在我的练习中使用此let。

您错误地定义了高度函数。您应该使用伪代码定义高度

height empty = 0
height (branch _ children) = 1 + max [height child | child in children]

其中，如果子项为空，则max应返回0。一旦你正确定义了高度函数，你应该能够用自反性来证明这个命题

Fixpoint height {X: Type} (t: tree X) : nat :=
  match t with
  | emp_tr _ => 0
  | node_tr _ l => let fix height_list (ltrees: list (tree X)) :=  
               match ltrees with
               | [] => 0
               | htr :: ttr => max (height htr) (height_list ttr)
               end
               in 1 + height_list l
  end.

---

使用let求解。

我认为您的

height

函数是错误的-我不完全确定您试图计算的是什么（不幸的是，它看起来将返回

1+1+根的第一片叶子的高度

，而不是整棵树的高度）。

height empty = 0
height (branch _ children) = 1 + max [height child | child in children]

Fixpoint height {X: Type} (t: tree X) : nat :=
  match t with
  | emp_tr _ => 0
  | node_tr _ l => let fix height_list (ltrees: list (tree X)) :=  
               match ltrees with
               | [] => 0
               | htr :: ttr => max (height htr) (height_list ttr)
               end
               in 1 + height_list l
  end.