Coq：用'重写；forall'；在假设或目标中

我已经在Coq中证明了多态列表上反向函数的“正确性”。下面的证明很好，但我有几个关于重写策略如何工作的问题

代码如下：

Require Export Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Fixpoint rev {T:Type} (l:list T) : list T :=
  match l with
  | nil    => nil
  | h :: t => rev t ++ [h]
  end.

(* Prove rev_acc equal to above naive implementation. *)
Fixpoint rev_acc {T:Type} (l acc:list T) : list T :=
  match l with
  | nil => acc
  | h :: t => rev_acc t (h::acc)
  end.

Theorem app_assoc : forall  (T:Type) (l1 l2 l3 : list T),
  (l1 ++ l2) ++ l3 = l1 ++ (l2 ++ l3).
Proof.
Admitted.

Theorem rev_acc_correct : forall (T:Type) (l k :list T),
  rev l ++ k = rev_acc l k.
Proof.
  intros T l.
  induction l as [ | h l' IHl' ].
  - reflexivity.
  - simpl. 
    intro k.
    (* Why is "intro k" required for "rewrite -> app_assoc" *)
    (* But "rewrite -> IHl'" works regardless of "intro k".  *)
    (* generalize (rev l'), [h], k. *)
    rewrite -> app_assoc.
    simpl.
    rewrite -> IHl'.
    reflexivity.
Qed.

在rev_acc_correct证明的归纳步骤中，如果我跳过介绍k，那么使用app_assoc重写会抱怨找不到匹配的子项

Found no subterm matching "(?M1058 ++ ?M1059) ++ ?M1060" in the current goal.

在这里，我想？在占位符名称之前，表示术语受到约束，在这种情况下，对于某些类型T，为列表T类型；由于目标中的rev l'和[h]是列表T的实例，因此我们可以预期目标中会出现匹配

另一方面，用归纳假设（rewrite->IHl'）而不是app_assoc进行重写，之前不需要介绍

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我发现这种重写行为有点令人困惑，Coq手册没有提供任何细节。我不想通读实现，但我需要对重写策略的功能有一个良好的操作理解，特别是关于术语匹配的工作原理。这方面的任何答案/参考都将受到高度赞赏。

重写的复杂性在于有一个活页夹（所有k的

），它会使事情变得复杂。如果您只是想让事情正常运行，请使用
setoid\u rewrite
而不是
rewrite
，它将在活页夹下重写


rewrite IHl'
看起来像是在活页夹下发生的，但是重新编写的模式实际上并不涉及绑定变量，因此活页夹实际上并不重要。我的意思是：目标是

forall k : list T, (rev l' ++ [h]) ++ k = rev_acc l' (h :: k)

这与（即等于）相同：

我使用Ltac中的
模式（rev l'+[h]）
得到了它。现在很清楚，您可以重写应用到的零件，而忽略活页夹。当您执行
重写IHl'
时，Coq很容易发现
IHl
应该专门用于
[h]
，然后重写继续进行

另一方面，
rewrite app_assoc
需要专用于三个列表，特别是
rev l'
、
[h]
和
k
。无法在当前上下文中对其进行专门化，因为变量
k
仅绑定在
forall
下面。这就是为什么模式
（？x++？y++？z
没有出现在目标中的原因

那么你实际上是做什么的呢？当然，您可以引入
k
，这样就没有活页夹了，但有一种更简单、更通用的技术：Coq有一个通用的重写，可以在活页夹下重写，您可以通过调用
setoid\u rewrite
（参见Coq参考手册中的内容）来使用它。手册告诉您需要声明态射，但在本例中，所有相关的态射都已为您在
forall
中实现，因此
setoid\u rewrite app\u assoc
将正常工作

请注意，虽然您总是可以为所有

引入一个

来摆脱活页夹，但当您的目标是一个
存在时，
setoid\u rewrite
非常方便。您可以在活页夹下重写，而不用
eexists
。
您的问题很有趣！但是，既然它提供了一个软件基础练习的答案，你能删除它并发布一个没有提到这个练习的最低版本吗？我个人认为这个例子是从任何特定的SF练习中抽象出来的，细节对于揭示这些复杂情况很重要，这个问题比隐藏这个特定的解决方案更有价值。也许您可以删除问题本身中对软件基础的引用？据我所知，上述代码中练习的唯一解决方案是实现。我已经尽我所能将其最小化，同时仍然保持证据的上下文。如果需要，请随时编辑。
 (fun l : list T => forall k : list T, l ++ k = rev_acc l' (h :: k)) (rev l' ++ [h])