Coq中有限集的建模基数

我在Coq中建立了有限集的基本理论

有限集（FSET）的语法

fset\u expr

可以 空集合，一个添加操作， 另一个集合的过滤器（集合理解）， 两套的杯子（接头）， 或两个集合的帽（交点）

 Inductive fset_expr { A : Set } : Set :=
| fset_expr_empty : fset_expr
| fset_expr_add : fset_expr -> A -> fset_expr
| fset_expr_filter : fset_expr -> (A -> bool) -> fset_expr
| fset_expr_cup : fset_expr -> fset_expr -> fset_expr
| fset_expr_cap : fset_expr -> fset_expr -> fset_expr.

集成员的语义

in_fset s a

表示

s:fset_expr

包含成员

a

Inductive in_fset { A : Set } : fset_expr (A:=A) -> A -> Prop :=
| in_fset_add : forall x a, in_fset (fset_expr_add x a) a
| in_fset_added : forall x a0 a1, in_fset x a0 -> in_fset (fset_expr_add x a1) a0
| in_fset_cup_l : forall x y a, in_fset x a -> in_fset (fset_expr_cup x y) a
| in_fset_cup_r : forall x y a, in_fset y a -> in_fset (fset_expr_cup x y) a
| in_fset_cap : forall x y a, in_fset x a -> in_fset y a -> in_fset (fset_expr_cap x y) a
| in_fset_filter : forall x f a, in_fset x a -> (f a = true) -> in_fset (fset_expr_filter x f) a.

子集与集合等式 基数 这就是发生并发症的地方。我定义了

cardinality\u fset sn

，这意味着有限集

s:fset\u expr

包含

n:nat

元素

Inductive cardinality_fset { A : Set } : fset_expr (A:=A) -> nat -> Prop :=
| cardinality_fset_empty : cardinality_fset fset_expr_empty 0
| cardinality_fset_add : forall s n a,
    ~(in_fset s a) ->
    cardinality_fset s n ->
    cardinality_fset (fset_expr_add s a) (S n)
| cardinality_fset_trans :
    forall x y n,
      eq_fset x y ->
      cardinality_fset x n ->
      cardinality_fset y n.

问题 我无法证明基数是定义良好的，即关系

eq\u fset

下

fset\u expr

的每个同余类都有唯一的基数。可能吗

  forall s : fset_expr (A:=A), exists n, (cardinality_fset s n /\ forall s' n', eq_fset s s' -> cardinality_fset s' n' -> n' = n).

---

为了证明这个定理，您需要能够编写一个函数

基数：fset_expr->nat

，用于计算有限集的基数，为此，您需要确定两个元素

（a1a2:a）

是否相等（这样您就不会重复计数）

---

如果对所有a1 a2:A，{a1=a2}+{a1 a2}都包含一个假设

，那么你的定理应该是可证明的。
要证明这个定理，你需要能够编写一个计算有限集的基数的函数
基数：fset_expr->nat，您需要确定两个元素
（a1a2:A）
是否相等（这样您就不会重复计算）

如果你为所有a1 a2:A，{a1=a2}+{a1 a2}
包含一个假设
，那么你的定理应该是可证明的。
我认为
基数
函数对于证明是必要的和充分的。即使没有您的平等假设，也有可能实现这样的功能吗？或者这样的假设是绝对必要的？假设基数函数存在，要知道
A
的两个元素
a1
和
a2
是否相等，只需计算
adda1（adda2为空）
的基数即可。是的，这两个概念似乎对彼此都是必要的。我看到，
基数
函数对于证明是必要的和足够的。即使没有您的平等假设，也有可能实现这样的功能吗？或者这样的假设是绝对必要的？假设基数函数存在，要知道
A
的两个元素
a1
和
a2
是否相等，只需计算
adda1（adda2为空）
的基数即可。因此，是的，这两个概念似乎对彼此都是必要的。
  forall s : fset_expr (A:=A), exists n, (cardinality_fset s n /\ forall s' n', eq_fset s s' -> cardinality_fset s' n' -> n' = n).