Coq-覆盖相等的概念以向集合中添加元素

我试图使用Coq的列表集创建一组NAT。但是，我在向集合中添加成员时遇到了问题

这是我正在运行的代码

Require Import ListSet Nat.

Axiom eq_dec : forall x y : nat, {x = y} + {x <> y}.

Compute (set_add eq_dec 0 (set_add eq_dec 0 nil)).

但是，我无法将这两者串在一起以获得所需的输出，即

0:：nil%列表：设置nat

我非常感谢您在这方面的帮助。

您的函数nats_equal实际上并不是您编写的eq_dec公理的实现，因为它返回一个布尔值，而没有相关的证明。您可以使用Coq的策略创建定义，将您的公理转化为定义。放置定义。最后意味着定义是透明的，因此Coq可以用它来计算，但在其他方面，这与你开始一个定理，证明它，然后用Qed结束它时是一样的

在本例中，证明很容易，因为Coq有一个内置的策略来证明可判定等式，这甚至适用于递归类型

也就是说，NAT的可判定等式已经存在于标准库中，因此您不需要自己定义它：

(* how to even search for the type in eq_dec? *)
Locate "{".
(* Notation
"{ A } + { B }" := sumbool A B : type_scope (default interpretation)
*)

(* now we know what the notation means and can search for it: *)
Search sumbool nat.
(* PeanoNat.Nat.eq_dec: forall n m : nat, {n = m} + {n <> m} *)

(* alternately, we can use some more specific searches: *)
Search (forall (_ _:nat), {_ = _} + {_ <> _}).
Search ({@eq nat _ _} + {_ <> _}).
(* same as above, but use special notation for equality at a specific type *)
Search ({_ = _ :> nat} + {_ <> _}).

如果您导入PeanoNat，您可以使用更好的名称Nat.eq_dec来引用它。

您的函数nats_equal实际上不是您编写的eq_dec公理的实现，因为它返回一个布尔值，而没有相关的证明。您可以使用Coq的策略创建定义，将您的公理转化为定义。放置定义。最后意味着定义是透明的，因此Coq可以用它来计算，但在其他方面，这与你开始一个定理，证明它，然后用Qed结束它时是一样的

在本例中，证明很容易，因为Coq有一个内置的策略来证明可判定等式，这甚至适用于递归类型

也就是说，NAT的可判定等式已经存在于标准库中，因此您不需要自己定义它：

(* how to even search for the type in eq_dec? *)
Locate "{".
(* Notation
"{ A } + { B }" := sumbool A B : type_scope (default interpretation)
*)

(* now we know what the notation means and can search for it: *)
Search sumbool nat.
(* PeanoNat.Nat.eq_dec: forall n m : nat, {n = m} + {n <> m} *)

(* alternately, we can use some more specific searches: *)
Search (forall (_ _:nat), {_ = _} + {_ <> _}).
Search ({@eq nat _ _} + {_ <> _}).
(* same as above, but use special notation for equality at a specific type *)
Search ({_ = _ :> nat} + {_ <> _}).

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如果您导入PeanoNat，您可以使用更好的名称Nat.eq_dec来引用它。

好的观点，添加了一些更具体的方法来搜索可判定的相等。您可能还想提到Scheme equality for…好的观点，添加了一些更具体的方法来搜索可判定的相等。您可能还想提到Scheme equality for。。。

(* how to even search for the type in eq_dec? *)
Locate "{".
(* Notation
"{ A } + { B }" := sumbool A B : type_scope (default interpretation)
*)

(* now we know what the notation means and can search for it: *)
Search sumbool nat.
(* PeanoNat.Nat.eq_dec: forall n m : nat, {n = m} + {n <> m} *)

(* alternately, we can use some more specific searches: *)
Search (forall (_ _:nat), {_ = _} + {_ <> _}).
Search ({@eq nat _ _} + {_ <> _}).
(* same as above, but use special notation for equality at a specific type *)
Search ({_ = _ :> nat} + {_ <> _}).