Coq中自然数后继数的内射性

我有点困惑，

Coq

中定义在自然数上的后继函数的内射性是否是一个公理？根据，它是一个公理（7）。当我查看手册页面时，我看到以下内容：

定义eq_add_S n m（H:sn=sm）：n=m:=f_等于pred H

提示立即eq_添加：核心

这看起来像一条公理（？），但让我困惑的是，在那一页的顶部写着：

它陈述了关于自然数的各种引理和定理，包括Peano的算术公理（在Coq中，这些是可证明的）

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这句话有点模棱两可不？

您看到的命令实际上是

S

构造函数内射性的证明。更准确地说，它说后继函数是内射的，因为它有一个逆函数：前导函数（

pred

）。（在Coq中，公理通常以关键字

Axiom

引入）

你似乎被我认为是“公理”这个词的两个相关的意思弄糊涂了。逻辑中更广泛的意义是“推理的起点”（）。狭义的说法是在演绎系统中被认为是理所当然的断言，而无需进一步证明。在本文中，皮亚诺的公理是这个词的两种意义上的公理，因为它们是原始的。在Coq、ZFC集合论和其他系统中，它们可以从更基本的事实得到证明