Coq &引用；术语抽象化…；“定义不清”；解构时

我在尝试销毁依赖类型的项时，经常在Coq中遇到错误。我知道有两个关于堆栈溢出的问题与这个问题有关，但这两个问题都不够一般，我无法在自己的证明中理解

下面是一个发生错误的简单示例

我们定义了一个类型族

t

：

Inductive t: nat -> Set :=
| t_S: forall (n: nat), t (S n).

现在我们将试图证明这类家族的每个成员

t（sn）

都居住着一个术语，即

t\sn

Goal forall (n: nat) (p: t (S n)), p = t_S n.

我们从以下几点开始：

intros n p.

我的下一步是销毁

p

：

destruct p.

…但这会遇到以下错误：

Abstracting over the terms "n0" and "p" leads to a term fun (n1 : nat) (p0 : t n1) => p0 = t_S n
which is ill-typed.
Reason is: Illegal application: 
The term "@eq" of type "forall A : Type, A -> A -> Prop"
cannot be applied to the terms
 "t n1" : "Set"
 "p0" : "t n1"
 "t_S n" : "t (S n)"
The 3rd term has type "t (S n)" which should be coercible to "t n1".

在我看来，它似乎试图将

p

转换为

t_S n1

，但不知何故未能协调

n1

必须等于

n

这一事实，从而导致

=

的对侧具有不匹配的类型

---

为什么会发生这种情况？人们如何避免这种情况？

这一事实的一个简单证明是

Goal forall (n: nat) (p: t (S n)), p = t_S n.
Proof.
  intros n p.
  refine (
    match p with
    | t_S n => _
    end
  ).
  reflexivity.
Qed.

为了理解这是如何工作的，在这里查看Coq构造的证明项将有所帮助

Goal forall (n: nat) (p: t (S n)), p = t_S n.
Proof.
  intros n p.
  refine (
    match p with
    | t_S n => _
    end
  ).
  reflexivity.
  Show Proof.

因此证明项不是

p

上的简单匹配项。相反，Coq巧妙地概括了

p:t（sn）

中的

sn

，同时将目标类型更改为在

sn

情况下仍然匹配

具体来说，上面的证明术语使用类型

match (S n) as n' return (t n' -> Type) with
| 0 => fun p => IDProp (* Basically the same as `unit`; a singleton type *)
| S n' => fun p => p = t_S n'
end p

显然，这与

p=t_sn

相同，但它允许

sn

被推广。

n

的每个实例现在都是

sn

的形式，因此可以用一些

n'

来替换它。下面是如何用个人战术来写的

Goal forall (n: nat) (p: t (S n)), p = t_S n.
Proof.
  intro n.
  change (
    forall p: t (S n),
      match (S n) as n' return (t n' -> Type) with
      | 0 => fun p => Empty_set (* This can actually be any type. We may as well use the simplest possible type. *)
      | S n' => fun p => p = t_S n'
      end p
  ).
  generalize (S n); clear n.
  intros n p.
  (* p: t n, not t (S n), so we can destruct it *)
  destruct p.
  reflexivity.
Qed.

---

那么，为什么这一切都是必要的呢？归纳（作为一种特殊情况，案例匹配）要求归纳类型中的任何索引都是通用的。这可以通过查看

t

：

t\rect:forall（P:forall n:nat，tn->Type），（forall n:nat，P（sn）（t\sn））->forall（n:nat）（x:tn），pnx

当使用归纳法时，我们需要为所有自然数定义

p

。尽管归纳法的另一个假设，

forall n:nat，P（sn）（t_S n）

，只使用了

P（sn）

，但它仍然需要有一个值为零。对于您的目标，

P（sn）P:=（P=t_S n）

，但是没有为

0

定义

P

。改变目标的巧妙方法是将

P

扩展到

0

，以符合

sn

的定义

Goal forall (n: nat) (p: t (S n)), p = t_S n.