Coq 证明在两个列表中查找相同元素的性质

我是Coq的新手。我有一个函数

findshare

，它在两个列表中查找相同的元素。引理

sameElements

证明函数

findshare

在两个列表的串联上的结果等于应用于每个列表的函数结果的串联。我在证明引理

sameeelements

时有点卡住了

Require Import List .
Fixpoint findshare(s1 s2: list nat): list nat:=
      match s1 with
        | nil => nil
        | v :: tl =>
           if ( existsb  (Nat.eqb v)  s2)
            then v :: findshare tl s2
            else findshare tl s2
      end.

 Lemma sameElements l1 l2 tl :
  (findshare tl (l1++l2)) =
  (findshare tl (l1))++ (findshare tl (l2)).
Proof.

---

你有麻烦是因为你的陈述不太正确：它包含了矛盾。更准确地说，它意味着

[1；2]=[2；1]

：

Require Import List .
Fixpoint findshare(s1 s2: list nat): list nat:=
      match s1 with
        | nil => nil
        | v :: tl =>
           if ( existsb  (Nat.eqb v)  s2)
            then v :: findshare tl s2
            else findshare tl s2
      end.

Lemma sameElements l1 l2 tl :
  (findshare tl (l1++l2)) =
  (findshare tl (l1))++ (findshare tl (l2)).
Admitted.

Import ListNotations.

Lemma contra : False.
Proof.
pose proof (sameElements [1] [2] [2;1]).
simpl in H.
discriminate.
Qed.

---

你应该能够证明引理，用

l1

、

l2

和

l1++l2

交换

tl

，然后对

l1

进行归纳，你遇到了麻烦，因为你的陈述不太正确：它包含了矛盾。更准确地说，它意味着

[1；2]=[2；1]

：

Require Import List .
Fixpoint findshare(s1 s2: list nat): list nat:=
      match s1 with
        | nil => nil
        | v :: tl =>
           if ( existsb  (Nat.eqb v)  s2)
            then v :: findshare tl s2
            else findshare tl s2
      end.

Lemma sameElements l1 l2 tl :
  (findshare tl (l1++l2)) =
  (findshare tl (l1))++ (findshare tl (l2)).
Admitted.

Import ListNotations.

Lemma contra : False.
Proof.
pose proof (sameElements [1] [2] [2;1]).
simpl in H.
discriminate.
Qed.

---

你应该能够通过将

tl

与

l1

、

l2

和

l1++l2

进行交换来证明引理，并通过对

l1

进行归纳来继续，这是一个很好的观点。我可以用另一个操作符代替

SameeElements

中的

=

（当元素相同但顺序不同时返回true的操作符）来证明它吗？据我所知，Coq中没有一个操作符可以直接表示您想要的内容，但您可以定义一个（例如，

几乎等于l1 l2=forall x，In x l1 In x l2

）。这是一个很好的观点。我是否可以使用另一个运算符，而不是

sameElements

中的

=

（当元素相同但顺序不同时返回true的运算符）为了证明这一点？据我所知，Coq中没有一个运算符可以直接表示您想要的内容，但您可以定义一个（例如，

几乎等于l1 l2=forall x，in x l1 in x l2

）。