Coq 用整数定理证明自然数定理

我不是数学家，但我对这个主题和Coq等证明助手的使用感兴趣。我仍然需要学习很多关于Coq是如何工作的。作为练习，我想证明：

forall n : nat, n > 0 -> Nat.Odd n <-> Nat.Odd (5 * n + 6).

我想知道我是不是走对了路。我还寻求一些关于如何最终使用结果

T1

证明

T2

的提示（假设这实际上是使用Coq证明初始目标的合理方法）

---

感谢您的帮助。

可能有一种方法可以证明Nat中的这一目标（通过使用可分性参数），但这种方法也是可行的。 你陷入困境的引理

L1

实际上可以用与定理

T1

类似的方式来求解，利用

lia

找到正确的引理。然后，在证明

T2

的过程中应用

T1

的唯一方法是证明

Z.of_nat

尊重加法和乘法：你可以依赖另一次

lia

。您将获得以下证明：

From Coq Require Import ZArith Arith.PeanoNat Psatz.

Theorem T1 : forall n : Z, Z.Odd n <-> Z.Odd (5 * n + 6).
Admitted.

Lemma L1 (n : nat) : Z.Odd (Z.of_nat n) <-> Nat.Odd n.
Proof.
  split.
  - intros [x?]. exists (Z.to_nat x). lia.
  - intros [x?]. exists (Z.of_nat x). lia.
Qed.

Theorem T2 (n : nat) : Nat.Odd n <-> Nat.Odd (5 * n + 6).
Proof.
  do 2 rewrite <- L1.
  (* We need to massage slightly the goal to apply T1 *)
  assert (Z.of_nat (5*n + 6) = (5*(Z.of_nat n)+6)%Z) as -> by lia.
  apply T1.
Qed.

从Coq要求进口ZArith Arith.PeanoNat Psatz。
定理T1:forall n:Z，Z.奇数nz.奇数（5*n+6）。
承认。
引理L1（n:nat）：Z.奇数（Z.of_nat n）n.奇数n。
证明。
分裂
-简介[x？]。存在（Z.to_nat x）。莉亚。
-简介[x？]。存在（Z.of_nat x）。莉亚。
Qed。
定理T2（n:nat）：nat.奇n.奇（5*n+6）。
证明。
由lia重写。
应用T1。
Qed。

Lemma L1 : forall n : nat,
  Z.Odd (Z.of_nat n) <-> Nat.Odd n.
Proof.
  intros.
  Admitted.

Theorem T2 : forall n : nat,
  n > 0 -> Nat.Odd n <-> Nat.Odd (5 * n + 6).
Proof.
  intros.
  pose proof T1 as G.
  rewrite <- L1.
  rewrite <- L1.
  Admitted.

From Coq Require Import ZArith Arith.PeanoNat Psatz.

Theorem T1 : forall n : Z, Z.Odd n <-> Z.Odd (5 * n + 6).
Admitted.

Lemma L1 (n : nat) : Z.Odd (Z.of_nat n) <-> Nat.Odd n.
Proof.
  split.
  - intros [x?]. exists (Z.to_nat x). lia.
  - intros [x?]. exists (Z.of_nat x). lia.
Qed.

Theorem T2 (n : nat) : Nat.Odd n <-> Nat.Odd (5 * n + 6).
Proof.
  do 2 rewrite <- L1.
  (* We need to massage slightly the goal to apply T1 *)
  assert (Z.of_nat (5*n + 6) = (5*(Z.of_nat n)+6)%Z) as -> by lia.
  apply T1.
Qed.