用Coq求解多项式方程组

我最终实现了以下目标，令人失望的是，无论是Psatz还是欧米茄的战术都没有解决这个问题

虽然我很懒，但我测试了30个值的所有组合，并且在所有情况下都匹配，所以我认为目标是有效的

是否有其他方法来解决此目标（最好尽可能自动）

另外，

omega

和

lia

什么时候会失败（对于有效的方程组）？我惊讶地注意到，

omega

甚至不能解出

a*b=b*a

编辑：

在进行一些手动替换之后，可以使用

lia

策略来解决

Z

整数的问题。（对

nat

进行替换不起作用（！）这可以通过其他策略实现自动化吗？然后我必须把定理“移植”回

nat

。。。我该怎么做

Require Import ZArith.
Open Scope Z.
Lemma help:
  forall n n0 n1 n2 n3 n4 n5 n6,
    n >= 0 -> n0 >= 0 -> n1 >= 0 ->
    n2 >= 0 -> n3 >= 0 -> n4 >= 0 ->
    n5 >= 0 -> n6 >= 0 ->

    n5 + n4 = n6 + n3 ->
    n1 + n0 = n2 + n ->
    n5 * n1 + n6 * n2 + n3 * n0 + n * n4 =
    n5 * n2 + n1 * n6 + n3 * n + n0 * n4.

  intros.
  Fail lia.
  assert (n5 = n6 + n3 - n4) by lia; subst n5.
  assert (n1 = n2 + n  - n0) by lia; subst n1.
  Fail omega.
  lia.
Qed.
Close Scope Z.

---

在您的情况下，

nia

将解决该目标。来自Coq参考的报价：

nia

是整数非线性算法的不完整证明程序（见第22.6节）

由于方程不是线性的，这将起作用（即使在

nat\u范围内

）：

至于问题的

omega

部分：

。。。欧米茄甚至没有解出

a*b=b*a

omega

是基于，顺便说一句，它是可判定的。摘自Coq：

乘法由ω处理，但只有乘积的两个被乘数中至少有一个是常数的目标才是可解的。这就是“普雷斯伯格算法”的限制

对于这种“原型”，除了Coq的程序之外，使用外部SMT解算器也可能是一个好主意

---

一个成熟的选择是（注意：使用Coq 8.5时，您需要why3 head），但也可以选择其他选项，例如“…omega甚至没有解决ab=ba”--乘法由omega处理，但只有两个乘积中至少有一个是常数的目标才是可解的。这就是“Presburger算术”的限制]非常感谢！这回答了问题的一部分。你知道为什么

lia

适用于

Z

而不适用于

nat

？一个人如何将一个定理从

Z

导入

nat

？在

Z

中，

m-n+n=m

是正确的，但在

nat

中，情况并非如此（例如，如果

n>m

）。因此，部分问题可能来自于此……但例如，

n5+n4=n6+n3

意味着

n5=n6+n3-n4

（但事实并非如此），因此

n4

不能大于

n6+n3

。也许

lia

的问题在于

nat

不是一个正确的环（带负号），但该语句仍然应该是正确的，对吧？它确实暗示了这一点，但它不是等价的，所以我可以理解为什么（完整的）解算器会放弃执行该步骤。正如你们现在接受的答案所提到的，

nia

（我不知道）确实是不完整的。谢谢，这就是我需要的。它也适用于

Z

。我会将此标记为anwered，但是您是否有任何关于将函数通过

Z

（或

positive

）移植到

nat

的想法？如果你这样做了，我会把它作为一个单独的问题发布。我从来没有真正想过它（答应明天做）。但是无论如何，一定要把问题贴出来！你永远不知道这里的人能想出什么。我从这里的答案中学到了很多。我在这里贴了一个问题：谢谢，我会调查的。让我失望的一件事是：“然后将当前目标转换为Why3的逻辑，并调用验证程序。如果它报告目标有效，则使用Coq的

承认

策略来假设目标。”我希望为什么要创建一个可以构建回Coq证明的跟踪，不增加受信任代码的数量。我见过这样的东西被用于HOL证明，但显然这不是为什么（至少不是从为什么到Coq的方向）。事实上，使用Z3解算器的Coq smt检查（从第二个链接）在实数领域工作（

R\u scope

）：

简介。smt解决方案；通过smt应用。

解决了该问题。插件在

nat_scope

或

Z_scope

@larsr中失败是可以理解的，这就是为什么我说“原型化”。请记住，SMT可以通过GiB中的痕迹来解决巨大的目标。不过，有些解算器（如Zenon）会生成跟踪，但我对它们没有经验。

Require Import ZArith.
Open Scope Z.
Lemma help:
  forall n n0 n1 n2 n3 n4 n5 n6,
    n >= 0 -> n0 >= 0 -> n1 >= 0 ->
    n2 >= 0 -> n3 >= 0 -> n4 >= 0 ->
    n5 >= 0 -> n6 >= 0 ->

    n5 + n4 = n6 + n3 ->
    n1 + n0 = n2 + n ->
    n5 * n1 + n6 * n2 + n3 * n0 + n * n4 =
    n5 * n2 + n1 * n6 + n3 * n + n0 * n4.

  intros.
  Fail lia.
  assert (n5 = n6 + n3 - n4) by lia; subst n5.
  assert (n1 = n2 + n  - n0) by lia; subst n1.
  Fail omega.
  lia.
Qed.
Close Scope Z.

Goal forall n n0 n1 n2 n3 n4 n5 n6,
       n5 + n4 = n6 + n3 ->
       n1 + n0 = n2 + n ->
       n5 * n1 + n6 * n2 + n3 * n0 + n * n4 =
       n5 * n2 + n1 * n6 + n3 * n + n0 * n4.
intros.
nia.
Qed.