Coq：帮助形成非正式证明 定理ev_ev_ev_full:forall n m， 偶数（n+m）（偶数n偶数m）。 证明。 介绍n m。分裂 -简介H.斯普利特。 +介绍H1。应用（ev_ev_ev n m H H1）。 +介绍H1。在H.apply（ev_ev_ev m n H H1）中重写plus comm。 -介绍H。

输出：

Theorem ev_ev__ev_full : forall n m,
  even (n+m) <-> (even n <-> even m).
Proof.
  intros n m. split.
  - intros H. split.
    + intros H1. apply (ev_ev__ev n m H H1).
    + intros H1. rewrite plus_comm in H. apply (ev_ev__ev m n H H1).
  - intros H.

n，m:nat
H:偶数n偶数m
============================
偶数（n+m）

现在n可以是偶数，也可以不是偶数

• 如果n是偶数，那么m也是偶数。然后由evu和定理（n+m）也为偶数

• 如果n不是偶数，则其形式为（n'+1），其中n'是偶数。m也不是偶数，其形式为（m'+1），其中m'是偶数。所以它们的总和等于：
  n+m=n'+1+m'+1=>n+m=（n'+m'）+2

偶数（（n'+m'）+2）。在

应用ev\u SS

之后，我们得到了偶数（n'+m'）。因为我们知道n'是偶数，m'是偶数，所以我们

应用ev\u sum

。这证明了定理

---

如何用coq写这个非正式的证明？

从以下引理开始：

  n, m : nat
  H : even n <-> even m
  ============================
  even (n + m)

这是一个决策过程：

even_dec n

告诉您

n

是否为

even

，这取决于它返回的是左选项还是右选项

{{{}+{{}

是

sumbool

的符号。它基本上就像一个

bool

（它在

集合中，因此可以在计算相关的上下文中被销毁），除了它还见证了两个给定的
Prop
中的一个，这取决于备选方案。在证明中，第一步是在此属性上分支：

Theorem even_dec (n : nat) : {even n} + {~even n}. Admitted.

如果
甚至n
，证明就微不足道了

    destruct (even_dec n) as [prf_n | prf_n].

否则，反向含义的反正性告诉我们
~甚至m
。我们还可以消除
not
s：

    + admit.

其余的证明（断言
n=sn'
，
m=sm'
，
偶数n'
，
偶数m'
，因此
偶数（n+m）
）伴随着一些工作（使用
反转
）

（我自己填写了《承认》
s，这条路径确实成功地找到了证据，但仅仅说出所有答案并不有趣：）
从以下引理开始：

  n, m : nat
  H : even n <-> even m
  ============================
  even (n + m)

这是一个决策过程：
even_dec n
告诉您
n
是否为
even
，这取决于它返回的是左选项还是右选项
{{{}+{{}
是
sumbool
的符号。它基本上就像一个
bool
（它在
集合中，因此可以在计算相关的上下文中被销毁），除了它还见证了两个给定的
Prop
中的一个，这取决于备选方案。在证明中，第一步是在此属性上分支：

Theorem even_dec (n : nat) : {even n} + {~even n}. Admitted.

如果
甚至n
，证明就微不足道了

    destruct (even_dec n) as [prf_n | prf_n].

否则，反向含义的反正性告诉我们
~甚至m
。我们还可以消除
not
s：

    + admit.

其余的证明（断言
n=sn'
，
m=sm'
，
偶数n'
，
偶数m'
，因此
偶数（n+m）
）伴随着一些工作（使用
反转
）

（我自己填写了《承认》
s，这条路确实成功地找到了证据，但仅仅说出所有答案并不有趣：）
我证明了自己的观点是对的。你能解释一下，如何证明这一点吗？我不知道该怎么办。很简单：整个证明是
归纳n as[|n rec]。-重复构造函数。-将rec分解为[rec | rec]；[右|左]；应用偶数+假设+反转清除1为[|？否]。矛盾。
您在
n
上进行归纳
0
是偶数，因此在这种情况下，您将返回带有证明
偶数0的左侧备选方案。对于
sn
，查看
n
是否为偶数，并返回相反的选项。然后使用
偶数
实际“步进”证明所选备选方案正确的
偶数
/
~偶数
证明。你能解释一下，如何证明这一点吗？我不知道该怎么办。很简单：整个证明是
归纳n as[|n rec]。-重复构造函数。-将rec分解为[rec | rec]；[右|左]；应用偶数+假设+反转清除1为[|？否]。矛盾。
您在
n
上进行归纳
0
是偶数，因此在这种情况下，您将返回带有证明
偶数0的左侧备选方案。对于
sn
，查看
n
是否为偶数，并返回相反的选项。然后使用
偶数
实际“步进”证明所选备选方案正确的
偶数
/
~偶数
证明。