是否有可能证明‘所有n:nat，le n 0->；n=0.`在Coq中不使用反转？

在中，它们定义了小于或等于的以下归纳定义：

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
          | le_n : le n n
          | le_S : forall m : nat, le n m -> le n (S m).

我的理解是，它定义了两种类型的构造函数：

le_n

它接受任何自然数并构造

le n

的证明

le_S

取任意自然数

m

，作为

le n m

的证明，并构造

le n（S m）

到目前为止还不错。然而，他们接着介绍下面的引理和证明

Lemma tricky : forall n:nat, le n 0 -> n = 0.
Proof.
  intros n0 H.
  inversion H.
  trivial.
Qed.

“反转”步骤是我感到困惑的地方。我知道除非n等于0，否则无法构造len0，因为0没有后继项，但我不确定反转策略是如何计算出来的

为了更好地理解它在做什么，我尝试在不使用反转策略的情况下证明这个引理。但是，到目前为止，我所有的尝试（即在n0和H上使用elim，尝试使用

for all n:nat、0 S n.

等）都失败了

虽然我的“计算机科学”大脑完全可以接受这种推理，但我的“数学家大脑”在接受这一点上有点困难，因为没有假设这是构建

le

居民的唯一方法。这让我想到，也许使用反转策略是唯一的方法

---

在没有反转策略的情况下，有可能证明这个引理吗？如果是这样的话，怎么做呢？

有可能证明这个引理而不倒置：重要的一点是对适当的目标进行归纳（消除）

首先请注意，当您将

elim

应用于

len0

类型的假设时，下面发生的是Coq将应用与

le

相关的消除原理。在这里，该消除原理被称为

le_ind

，您可以查询其类型：

forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
       P n ->
       (forall m : nat, n <= m -> P m -> P (S m)) ->
       forall n0 : nat, n <= n0 -> P n0

所有这些推广

0

的工作实际上就是

inversion

为您所做的

请注意，我提出的谓词

p

不是唯一可能的解决方案。另一个有趣的解决方案是基于

match

（关键字是小规模反转）和

P（n0）：=match n0和0=>n=0 | S=>True end

。 而且，战术最终总是会产生赤裸裸的加里纳术语，所以你总是可以（至少在理论上）写出一个术语来证明任何战术都是一样的。下面是一个使用Coq强大但冗长的模式匹配的示例：

Definition pf : forall n, le n 0 -> n = 0 :=
  fun n H =>
    match H
          in le _ q
          return match q return Prop with
                 | 0 => n = q
                 | S _ => True
                 end
    with
    | le_n _ => match n with 0 => eq_refl | S _ => I end
    | le_S _ _ _ => I
    end.

编辑：使用

记住
策略简化战术脚本。最初的提议是手工重新实现
记住
：

set (q := 0). (* change all the 0s in the goal into q and add it as hypothesis *)
  intro H.
  generalize (eq_refl : q = 0). (* introduce q = 0 *)
  revert H.
  generalize q ; clear q.  (* generalizes q *)
  (* Now the goal is of the shape
     forall q : nat, n <= q -> q = 0 -> n = q
     and we can apply elim *)
  intros q H ; elim H.

set（q:=0）。（*将目标中的所有0更改为q，并将其添加为假设*）
介绍H。
推广（等式：q=0）。（*引入q=0*）
回复H。
推广q；明确的问题。（*推广了q*）
（*现在目标是形状
对于所有q:nat，nq=0->n=q
我们可以应用elim*）
简介q H；艾琳H。
问题在于
归纳法
或
elim
策略忘记了一个事实，即在
len0
中，第二个参数是
0
。
有两种情况是可能的，要么证明
len0
是
leu n
，要么证明是
leu S
。事实上，第二种情况是不可能的，因为
0sn
，但策略不会知道这一点

inversion
更接近于
destruct
而不是
归纳
，因为它不会给你任何归纳假设。它将查看你给出的命题的所有构造器，并查看哪些构造器可以导致它。这一次，它很聪明，它认为只有当您拥有
0sn
并放弃它时，
leu s
才适用

手工操作的一种方法是简单地强制Coq记住第二个参数是
0

Lemma tricky : forall n, le n 0 -> n = 0.
Proof.
  assert (h : forall n m, m = 0 -> le n m -> n = 0).
  { intros n m e h.
    induction h.
    - assumption.
    - discriminate.
  }
  intros n hyp.
  eapply h.
  - reflexivity.
  - assumption.
Qed.

如你所见，我通过添加一个等式来推广引理。
discrime
策略允许你从一个荒谬的假设（如
0=sn
）中得出一个目标。在交换
h
的两个假设时，可以按照西奥的方法设计一个使用SSReflect的简短证明：

Lemma tricky n (len0 : le n 0) : n = 0.
Proof.
  have h m : le n m -> m = 0 -> n = 0 by elim. 
  exact: (h 0).
Qed.    

当你
destruct
时，假设
ntrue | 0=>False结束）为HF。
在HF中重写Heqm。
应用假ind，HF。
Qed。

Lemma tricky n (len0 : le n 0) : n = 0.
Proof.
  have h m : le n m -> m = 0 -> n = 0 by elim. 
  exact: (h 0).
Qed.    

Goal forall n, n <= 0 -> n = 0.
  remember 0 as m. 
  destruct 1. 
  - reflexivity.
  - pose proof (I : match S m with S _ => True | 0 => False end) as HF.
    rewrite Heqm in HF.
    apply False_ind, HF.
Qed.