Coq中其他基本情况的诱导

我试图证明Coq中的鸽子洞问题。因此，我想证明以下引理：

Lemma pigeon_hole :
forall m n, m < n ->
forall f, (forall i, i < n -> f i < m) ->
exists i, i < n /\
exists j, j < n /\ i <> j /\ f i = f j.

但我怀疑这是否与此相关

我认为这可以用归纳法来完成

如果我尝试对n进行归纳，我得到n=0的基本情况。这里我先做“介绍”，然后做“归纳法”

---

但我想要基本情况n=2。Coq中是否存在这样的可能性？或者我是否走错了方向？

您链接到的问题的答案包含以下即时评论：

n=1的情况是不可能的

这对人类数学家来说已经足够好了，但对Coq来说就不行了。你可以告诉Coq，你只想证明n>=2的情况，把它加到引理的前提中：

Lemma pigeon_hole :
  forall m n,
  n >= 2 ->    (* added this *)
  m < n ->
  forall f,
  (forall i, i < n -> f i < m) ->
  exists i, i < n /\
  exists j, j < n /\ i <> j /\ f i = f j.

我们对n=0和n>=0进行了区分（即，对于某些

n'

）。我们在以下方面处于验证状态：

H : 0 >= 2

这个错误的假设正是

omega

可以为你释放的东西：

  - omega.

在另一种情况下，我们知道n>=1。这接近于n>=2，但仍然不够，因此我们可以再次对n进行区分，以消除n=1的情况：

  - destruct n.
    + omega.
    +

证明状态现在是：

1 subgoal
m, n : nat
H : S (S n) >= 2
H0 : m < S (S n)
f : nat -> nat
H1 : forall i : nat, i < S (S n) -> f i < m
______________________________________(1/1)
exists i : nat,
  i < S (S n) /\ (exists j : nat, j < S (S n) /\ i <> j /\ f i = f j)

1子目标
m、 n:纳特
H:S（sn）>=2
H0:mnat
H1：对于所有i:nat，ifi

因此，

n

的所有原始用法都已被

S（sn）

所取代，即>=2的值

---

您应该能够使用

inclution n

从这里继续，基本值是

n=0

，但您可以摆脱它。然后你有一个归纳的例子，在这里，你用

sn

在每一个地方看公式。如果你做了

destruct n as[|n]

，那么有两个案例，第一个案例是针对

1

，并且可能会再次摆脱这个案例，然后如果再次做

destruct n as[|n]

，你将不得不处理案例

2

。因此，这将发挥你的基本情况的作用。现在，剩下的情况将是关于相同的公式，但是初始的

n

被

S（sn））

替换，归纳假设是关于

S（sn）

的公式已经成立。这将为您提供一个从基本情况开始的归纳证明

n=2

但是对于

n=0

和

n=1

来说，这种说法仍然是正确的，你需要从侧面证明这些情况

第二种可能性（适用于较高常数的基本情况） 或者，你可以通过证明n为0是不可能的来证明基本情况，然后当你观察归纳情况时，你可以通过

destruct (le_lt_dec 2 n).

这将为您提供两种情况：一种是

2
1 subgoal
m, n : nat
H : S (S n) >= 2
H0 : m < S (S n)
f : nat -> nat
H1 : forall i : nat, i < S (S n) -> f i < m
______________________________________(1/1)
exists i : nat,
  i < S (S n) /\ (exists j : nat, j < S (S n) /\ i <> j /\ f i = f j)

destruct (le_lt_dec 2 n).