Coq 应用程序定义失败，返回“0”；无法将道具与[目标]统一”；

在Coq中，我使用以下方法显示了向量上

append

的关联性：

需要导入Coq.Vectors.VectorDef Omega。
节目定义电视节目助理节目主持人（a:TVP）（b:TVQ）（c:TVR）：=
追加（追加a b）c=追加a（追加b c）。
下一项义务。欧米茄。Qed。

现在我想在证明中应用这个等式。下面是我希望通过

t\u app\u assoc

可以证明的最简单的目标。当然，它可以通过

siml

来证明——这只是一个例子

Goal（追加（追加（nil-nat）（nil)））（nil)
=追加（nil)（追加（nil)）（nil)））。
应用t_app_assoc。

此

应用

失败，原因如下：

错误：无法将“道具”与
“附加（附加（nil-nat）（nil-nat））（nil-nat）=
附加（无nat）（附加（无nat）（无nat））”

我如何申请应用程序协会？还是有更好的方法来定义它？我想我需要一个

程序定义

，因为简单地使用

引理

会导致类型错误，因为

tv（p+（q+r））

和

tv（p+q+r）

与Coq不一样。

序言 我想你想证明的是向量连接是相联的，然后用这个事实作为引理

但是

t_app_assoc

根据您的定义，它具有以下类型：

t_app_assoc
     : forall (v : Type) (p q r : nat), t v p -> t v q -> t v r -> Prop

Check append (append a b) c : t A (p + q + r).

cast :
  forall (A : Type) (m : nat),
  Vector.t A m -> forall n : nat, m = n -> Vector.t A n

您基本上希望使用

：

而不是

：=

，如下所示

From Coq Require Import Vector Arith.
Import VectorNotations.
Import EqNotations.  (* rew notation, see below *)

Section Append.

Variable A : Type.
Variable p q r : nat.
Variables (a : t A p) (b : t A q) (c : t A r).

Fail Lemma t_app_assoc :
  append (append a b) c = append a (append b c).

不幸的是，我们甚至不能用通常的齐次等式来表示这样的引理

左侧具有以下类型：

t_app_assoc
     : forall (v : Type) (p q r : nat), t v p -> t v q -> t v r -> Prop

Check append (append a b) c : t A (p + q + r).

cast :
  forall (A : Type) (m : nat),
  Vector.t A m -> forall n : nat, m = n -> Vector.t A n

而右边是

Check append a (append b c) : t A (p + (q + r)).

由于

ta（p+q+r）

与

ta（p+（q+r））

不同，我们不能用

=

来说明上述引理

让我描述一些解决这个问题的方法：

rew

符号 在这里，我们只使用自然数加法的结合性法则将RHS类型转换为

ta（p+q+r）

要使其正常工作，需要先导入EqNotations.

cast

功能 这是一个常见问题，因此

Vector

库的作者决定提供具有以下类型的

cast

函数：

t_app_assoc
     : forall (v : Type) (p q r : nat), t v p -> t v q -> t v r -> Prop

Check append (append a b) c : t A (p + q + r).

cast :
  forall (A : Type) (m : nat),
  Vector.t A m -> forall n : nat, m = n -> Vector.t A n

让我来说明如何用它来证明向量的结合定律。但是让我们先证明下面的辅助引理：

Lemma uncast {X n} {v : Vector.t X n} e :
  cast v e = v.
Proof. induction v as [|??? IH]; simpl; rewrite ?IH; reflexivity. Qed.

现在我们都准备好了：

Lemma t_app_assoc_cast (a : t A p) (b : t A q) (c : t A r) :
  append (append a b) c = cast (append a (append b c)) (plus_assoc _ _ _).
Proof.
  generalize (Nat.add_assoc p q r).
  induction a as [|h p' a' IH]; intros e.
  - now rewrite uncast.
  - simpl; f_equal. apply IH.
Qed.

异质平等（又称约翰·梅杰平等） 如果比较齐次等式的定义

Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=
  eq_refl : x = x.

Inductive JMeq (A : Type) (x : A) : forall B : Type, B -> Prop :=
  JMeq_refl : x ~= x.

以及异质平等的定义

Inductive eq (A : Type) (x : A) : A -> Prop :=
  eq_refl : x = x.

Inductive JMeq (A : Type) (x : A) : forall B : Type, B -> Prop :=
  JMeq_refl : x ~= x.

您将看到，使用

JMeq

时，LHS和RHS不必是相同的类型，这就是为什么

t_app_assoc_JMeq

的语句看起来比前面的语句简单一些的原因

向量的其他方法 见例。 及； 我也发现

---

也非常有用。

这非常有用，谢谢！只是，我没能证明rew/cast引理（也没发现有人使用它…）。我真的不知道从哪里开始；“展开投射”不会产生任何有用的结果。