Coq 集成的标准笛卡尔积结构是什么？

我在

Coq.sets.emble

中为集合使用

emble

类型。这个库定义了

并集

和

交集

，但我找不到笛卡尔积的任何构造

具体来说，我正在寻找一个构造函数，它接受

集合U

和

集合V

，并返回一个

集合（U*V）

，其中包含所有有序对的集合

（U，V）

，其中

U∈ U

和

v∈ V

明确地称之为笛卡尔的东西会很棒。或者，也许有某种方法可以使用普通的产品类型来嵌入相同的想法

我试图构造这样一个引理：

Lemma cartesian_inclusion : forall A B C D : Ensemble U,
    Included U A C /\ Included U B D -> Included (U * U) (A, B) (C, D).

但我得到了以下错误：

The term "(A, B)" has type "(Ensemble U * Ensemble U)%type" while it is expected to have type "Ensemble (U * U)".

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这个错误有点道理<代码>（A，B）提供一组产品，而我想要的是一组产品。我如何用Coq来表达这一点

类型

集合U

仅定义为

U->Prop

。我们可以很容易地为集合定义笛卡尔积，如下所示：

Require Import Coq.Sets.Ensembles.

Definition Cartesian (U V : Type) (A : Ensemble U) (B : Ensemble V) 
  : Ensemble (U * V) :=
  fun x => In _ A (fst x) /\ In _ B (snd x).

这是你所说引理的一个证明：

Lemma cartesian_inclusion U V A B C D :
  Included U A C /\ Included V B D ->
  Included (U * V) (Cartesian _ _ A B) (Cartesian _ _ C D).
Proof.
intros [HU HV] [x y] [HA HB].
split.
- now apply HU.
- now apply HV.
Qed.

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顺便说一句，集成库很少用于现代Coq开发中——它除了使用谓词之外没有任何好处。

谢谢您的回答，这非常有效！你的最后一句评论“简单地处理谓词通常容易得多”，很有趣。您是否有指向该样式示例的链接？@MatthewPiziak列表上的

Forall

谓词（在

Coq.lists.List

中），例如，为all a（a->Prop）->List a->Prop使用type

，而不是将集合作为其参数。还有一点我想我没有在我的回答中清楚地表达自己：并不是说使用谓词更容易，只是集合是不必要的间接层次。