如何在coq中使用sig强制

我有一个类似的代码

Definition even := {n : nat | exists k, n = k + k}.

Definition even_to_nat (e : even) : nat.
Admitted.

Coercion even_to_nat : even >-> nat.

Example Ex : forall n : even, exists k, k + k = n.
Admitted.

Example Ex2 : forall k, exists n : even, k + k = n.
Admitted.

在这种情况下，我应该如何删除

已接纳的

还有，为什么会这样

Example Ex' : forall n : even, exists k, n = k + k

---

即使是强迫也不行？是否有一种很好的方法来消除此类错误？

这是用Gallina编写的

偶数to nat

函数的定义：

Definition even := {n : nat | exists k, n = k + k}.

Definition even_to_nat (e : even) : nat :=
  match e with
  | exist _ n _ => n
  end.

Coercion even_to_nat : even >-> nat.

它在

e

上匹配模式以检索包装的自然数

n

这是一个使用策略的等效实现：

Definition even_to_nat_tac (e : even) : nat.
destruct e.
auto.
Defined.

destruct

策略基本上与

e

上的模式匹配。然后，

auto

自动使用内部的自然数来完成定义

下面是第一个示例的Gallina实现：

Example Ex : forall n : even, exists k, k + k = n :=
  fun n => match n with
  | exist _ n (ex_intro _ k eq) => ex_intro (fun k => k + k = n) k (eq_sym eq)
  end.

本质上，它在

n

上匹配模式，检索

k

和

n=k+k

的证明，然后使用

eq\u sym

翻转等式

下面是

Ex2

的一个实现：

Example Ex2 : forall k, exists n : even, k + k = n :=
  fun k =>
  let n := k + k in
  let exists_k := ex_intro (fun k => n = k + k) k eq_refl in
  let even_nat := exist (fun n => exists k, n = k + k) n exists_k in
  ex_intro (fun n => k + k = even_to_nat n) even_nat eq_refl.

exists\u k

是包含在偶数中的证明，说明

exists k，n+n=k

偶数

是满足条件的偶数

存在n，k+k=n

，其中

n

显然是

k+k

。最后，我居住在所需的类型中。似乎我不能在这里使用强制，所以我显式地使用了

偶到nat

或者，如果我添加类型注释，强制将起作用：

Example Ex2 : forall k, exists n : even, k + k = n :=
  fun k =>
  let n := k + k in
  let exists_k := ex_intro (fun k => n = k + k) k eq_refl in
  let even_nat := exist (fun n => exists k, n = k + k) n exists_k in
  ex_intro (fun (n : even) => k + k = n) even_nat eq_refl.

有关

Ex'

示例，请参阅中的警告。给定强制

强制bool\u in\u nat:bool>->nat.

：

请注意，检查（true=O）将失败。这是强迫的“正常”行为。为了验证true=O，强制从nat搜索到bool。没有

---

您只能在等式类型的右侧强制，而不能在左侧强制。

这是用Gallina编写的

偶数to nat

函数的定义：

Definition even := {n : nat | exists k, n = k + k}.

Definition even_to_nat (e : even) : nat :=
  match e with
  | exist _ n _ => n
  end.

Coercion even_to_nat : even >-> nat.

它在

e

上匹配模式以检索包装的自然数

n

这是一个使用策略的等效实现：

Definition even_to_nat_tac (e : even) : nat.
destruct e.
auto.
Defined.

destruct

策略基本上与

e

上的模式匹配。然后，

auto

自动使用内部的自然数来完成定义

下面是第一个示例的Gallina实现：

Example Ex : forall n : even, exists k, k + k = n :=
  fun n => match n with
  | exist _ n (ex_intro _ k eq) => ex_intro (fun k => k + k = n) k (eq_sym eq)
  end.

本质上，它在

n

上匹配模式，检索

k

和

n=k+k

的证明，然后使用

eq\u sym

翻转等式

下面是

Ex2

的一个实现：

Example Ex2 : forall k, exists n : even, k + k = n :=
  fun k =>
  let n := k + k in
  let exists_k := ex_intro (fun k => n = k + k) k eq_refl in
  let even_nat := exist (fun n => exists k, n = k + k) n exists_k in
  ex_intro (fun n => k + k = even_to_nat n) even_nat eq_refl.

exists\u k

是包含在偶数中的证明，说明

exists k，n+n=k

偶数

是满足条件的偶数

存在n，k+k=n

，其中

n

显然是

k+k

。最后，我居住在所需的类型中。似乎我不能在这里使用强制，所以我显式地使用了

偶到nat

或者，如果我添加类型注释，强制将起作用：

Example Ex2 : forall k, exists n : even, k + k = n :=
  fun k =>
  let n := k + k in
  let exists_k := ex_intro (fun k => n = k + k) k eq_refl in
  let even_nat := exist (fun n => exists k, n = k + k) n exists_k in
  ex_intro (fun (n : even) => k + k = n) even_nat eq_refl.

有关

Ex'

示例，请参阅中的警告。给定强制

强制bool\u in\u nat:bool>->nat.

：

请注意，检查（true=O）将失败。这是强迫的“正常”行为。为了验证true=O，强制从nat搜索到bool。没有

---

你只能在等式类型的右侧强制，不能在左侧强制。

我有一个问题：有没有办法用战术证明

Ex2

？我有一个问题：有没有办法用战术证明

Ex2

？