如何在Coq中使用HoTT路径诱导？_Coq_Type Theory

如何在Coq中使用HoTT路径诱导？

coq

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因为我有

Definition f (s:Unit) : tt=tt := match s with tt => idpath end.
Definition g (p:tt=tt) : Unit := match p with idpath => tt end.

我想为所有（p:tt=tt），（f o g）p=p证明


我想使用霍特书中1.12.1中描述的路径归纳法来实现它
显然，对于p
为idpath
的情况，我们可以证明
assert( (f o g) idpath = idpath).
simpl.
reflexivity.

但是我如何在Coq中使用路径归纳来将整个证明打包在一起呢
到目前为止的全部证据：（用什么代替承认
？）
Coq中路径诱导的模拟是匹配
结构。下面是我们如何使用它来定义（基于）路径归纳，如HoTT手册中所述
Set Implicit Arguments.

Definition J {A} {x : A} (P : forall y, x = y -> Type)
                 (H : P x eq_refl) : forall y p, P y p :=
  fun y p => match p with eq_refl => H end.

这个定义的类型表示，每当我们想证明pyp
，其中

y:A
p:x=y
，以及
P:forall y，x=y->Type

它足以表明pxeq\u refl
成立。我们可以使用J
来表示g
函数是常数。（我已经对定义进行了重新表述，以与Coq标准库给出的定义相匹配。）
这个证明的棘手部分是找出J
的p
参数应该是什么，这也是通过路径归纳进行的其他证明的情况。在这里，我必须展开g
的定义，因为它需要类型为tt=tt
的参数，而上面使用的q
具有类型tt=y
。在任何情况下，您都可以看到pttp
定义上等于gp=tt
，这就是我们想要证明的
我们可以玩一个小把戏来证明，对于任何p:tt=tt
，p=eq\u refl

。结合前面的结果，它将给出您想要的结果

Definition result (p : tt = tt) : p = eq_refl :=
  J (fun y q =>
       unit_rect (fun z => tt = z -> Prop)
                 (fun u => u = eq_refl)
                 y q)
    eq_refl p.

同样，关键是

参数。我们利用

unit

的归纳原理，即只要我们能找到

ttt

的元素，就可以定义类型为

tx

（对于

T:unit->type

和

x:tt

）的东西。回想一下，应用

的结果应该具有类型

P tt p

在这种情况下，这只是

unit_rect (fun z => tt = z -> Prop)
          (fun u => u = eq_refl)
          tt p
= (p = eq_refl)

根据

unit_rect

的计算规则

不幸的是，这种证明很难用Coq的策略语言复制，因为它常常难以推断出

应该是什么。您自己通常更容易计算出该值，并明确地写下证明项

我不太明白为什么，但是如果你用

match

写下证明术语，那么Coq也能更好地理解这个注释。比较：

Definition result' (p : tt = tt) : p = eq_refl :=
  match p with eq_refl => eq_refl end.

虽然这看起来简单得多，但当您尝试打印它时，您将看到Coq推断的实际术语要复杂得多。试试看

编辑

啊，我刚刚意识到你在尝试使用Coq的HoTT版本。我没有安装那个版本，但我认为让我的解决方案适应它应该不会太难

Coq中路径诱导的模拟是

匹配

结构。下面是我们如何使用它来定义（基于）路径归纳，如HoTT手册中所述

Set Implicit Arguments.

Definition J {A} {x : A} (P : forall y, x = y -> Type)
                 (H : P x eq_refl) : forall y p, P y p :=
  fun y p => match p with eq_refl => H end.

这个定义的类型表示，每当我们想证明

pyp

，其中

```
y:A
```
```
p:x=y
```
，以及
```
P:forall y，x=y->Type
```

它足以表明

pxeq\u refl

成立。我们可以使用

来表示

函数是常数。（我已经对定义进行了重新表述，以与Coq标准库给出的定义相匹配。）

这个证明的棘手部分是找出

的

参数应该是什么，这也是通过路径归纳进行的其他证明的情况。在这里，我必须展开

的定义，因为它需要类型为

tt=tt

的参数，而上面使用的

具有类型

tt=y

。在任何情况下，您都可以看到

pttp

定义上等于

gp=tt

，这就是我们想要证明的

我们可以玩一个小把戏来证明，对于任何

p:tt=tt

，p=eq\u refl。结合前面的结果，它将给出您想要的结果

Definition result (p : tt = tt) : p = eq_refl :=
  J (fun y q =>
       unit_rect (fun z => tt = z -> Prop)
                 (fun u => u = eq_refl)
                 y q)
    eq_refl p.