Coq 类型族的归纳定义
我已经为此奋斗了一段时间了。我有一个感应型：Coq 类型族的归纳定义,coq,Coq,我已经为此奋斗了一段时间了。我有一个感应型： Definition char := nat. Definition string := list char. Inductive Exp : Set := | Lit : char -> Exp | And : Exp -> Exp -> Exp | Or : Exp -> Exp -> Exp | Many: Exp -> Exp 从中我归纳地定义了一系列类型： Inductive La
Definition char := nat.
Definition string := list char.
Inductive Exp : Set :=
| Lit : char -> Exp
| And : Exp -> Exp -> Exp
| Or : Exp -> Exp -> Exp
| Many: Exp -> Exp
Inductive Language : Exp -> Set :=
| LangLit : forall c:char, Language (Lit c)
| LangAnd : forall r1 r2: Exp, Language(r1) -> Language(r2) -> Language(And r1 r2)
| LangOrLeft : forall r1 r2: Exp, Language(r1) -> Language(Or r1 r2)
| LangOrRight : forall r1 r2: Exp, Language(r2) -> Language(Or r1 r2)
| LangEmpty : forall r: Exp, Language (Many r)
| LangMany : forall r: Exp, Language (Many r) -> Language r -> Language (Many r).
r:Expr语言rLemma L1 : forall (c:char)(x:Language (Lit c)),
x = LangLit c.
Lemma L2: forall (x: List 0),
x = ListNil.
语言（Lit c）'c'“c”语言r字符串的语义元素。）
现在，这个问题的细节并不重要，只是用来激发我的问题：让我们使用nat
而不是Exp
，并定义一个类型List n
，它表示长度n
的列表：
Parameter A:Set.
Inductive List : nat -> Set :=
| ListNil : List 0
| ListCons : forall (n:nat), A -> List n -> List (S n).
这里我再次使用一个归纳定义来定义一系列类型listn
我想证明：
Lemma L1 : forall (c:char)(x:Language (Lit c)),
x = LangLit c.
Lemma L2: forall (x: List 0),
x = ListNil.
（换句话说，类型列表0
只有一个元素）
关于这一点我已经没有主意了
通常，当试图用归纳类型（或谓词）证明（否定）结果时，我会使用elim
策略（确保所有相关假设都在我的目标范围内（generalize
），并且类型构造函数中只出现变量）。但是elim
在这种情况下是不好的。如果你愿意接受的不仅仅是Coq的基本逻辑，你可以使用依赖销毁
策略，可以在程序
库中找到（我冒昧地用标准库向量重新表述了你的上一个示例）：
如果你检查这个术语，你会发现这个策略依赖于JMeq_eq
axiom来获得证据：
Print Assumptions l0.
Axioms:
JMeq_eq : forall (A : Type) (x y : A), x ~= y -> x = y
幸运的是，通过对前面引理的陈述做一点小小的修改，可以证明l0
，而不必求助于Coq基本逻辑之外的特性
Lemma l0_gen A n (v : Vector.t A n) :
match n return Vector.t A n -> Prop with
| 0 => fun v => v = @Vector.nil A
| _ => fun _ => True
end v.
Proof.
now destruct v.
Qed.
Lemma l0' A (v : Vector.t A 0) : v = @Vector.nil A.
Proof.
exact (l0_gen A 0 v).
Qed.
我们可以看到，这个新证明不需要任何额外的公理：
Print Assumptions l0'.
Closed under the global context
这里发生了什么事？粗略地说，问题在于，在Coq中，我们无法直接对索引具有特定形状（例如，在您的案例中为0）的依赖类型执行案例分析。相反，我们必须证明一个更一般的说法，即用变量替换有问题的指数。这正是l0\u gen
引理所做的。注意我们如何在n
上进行匹配，并返回一个在v
上进行抽象的函数。这是我们所知的另一个例子。我们写信了吗
match n with
| 0 => v = @Vector.nil A
| _ => True
end.
Coq将看到0
分支中的v
具有类型Vector.tan
，使该分支类型错误
提出这样的泛化是在Coq中进行依赖类型编程的一大难题。其他系统，如Agda，使编写此类代码的工作量大大减少，但直到最近才可以在不依赖Coq希望避免包含在其基本理论中的额外公理的情况下完成。我们只能希望在未来的版本中简化这一点。如果您愿意接受的不仅仅是Coq的基本逻辑，那么您可以使用依赖销毁策略，该策略可在程序
库中找到（我已经冒昧地用标准库向量重新表述了上一个示例）：
如果你检查这个术语，你会发现这个策略依赖于JMeq_eq
axiom来获得证据：
Print Assumptions l0.
Axioms:
JMeq_eq : forall (A : Type) (x y : A), x ~= y -> x = y
幸运的是，通过对前面引理的陈述做一点小小的修改，可以证明l0
，而不必求助于Coq基本逻辑之外的特性
Lemma l0_gen A n (v : Vector.t A n) :
match n return Vector.t A n -> Prop with
| 0 => fun v => v = @Vector.nil A
| _ => fun _ => True
end v.
Proof.
now destruct v.
Qed.
Lemma l0' A (v : Vector.t A 0) : v = @Vector.nil A.
Proof.
exact (l0_gen A 0 v).
Qed.
我们可以看到，这个新证明不需要任何额外的公理：
Print Assumptions l0'.
Closed under the global context
这里发生了什么事？粗略地说，问题在于，在Coq中，我们无法直接对索引具有特定形状（例如，在您的案例中为0）的依赖类型执行案例分析。相反，我们必须证明一个更一般的说法，即用变量替换有问题的指数。这正是l0\u gen
引理所做的。注意我们如何在n
上进行匹配，并返回一个在v
上进行抽象的函数。这是我们所知的另一个例子。我们写信了吗
match n with
| 0 => v = @Vector.nil A
| _ => True
end.
Coq将看到0
分支中的v
具有类型Vector.tan
，使该分支类型错误
提出这样的泛化是在Coq中进行依赖类型编程的一大难题。其他系统，如Agda，使编写此类代码的工作量大大减少，但直到最近才可以在不依赖Coq希望避免包含在其基本理论中的额外公理的情况下完成。我们只能希望在将来的版本中简化这一点。我还发现了另一种证明：eq_dep_eq；移动E:{12}0v=>izv；案例：iz/v E.
有时很有用。事实上，eq_dep
和类似的技巧在处理依赖类型时非常有用。这非常好，谢谢！。在我看来，在定义更一般的谓词（使用“护航模式”）时，至少在这种情况下，您可以取消“return Vector.t A n->Prop”。@ejgallego值得一提的是，这些链接在我看来是空白的（即使启用了javascript）。对不起，collacoq确实需要最新的chrome或firefox。我们正在努力支持其他浏览器。同时看看这个：collacoq的好处是，你可以直接运行证明。我还通过apply找到了这个替代证明：eq\u dep\u eq；移动E:{12}0v=>izv；案例：iz/v E.
有时有用