Coq 使用'；同一关系'；（可能还有其他库定义）？

给定任何编程语言，只要存在标准库函数，我们就应该使用它，而不是编写自己的代码。人们会认为，这一建议同样适用于Coq。然而，我最近强迫自己使用

关系

模块的

相同的\u关系

谓词，让我感觉情况更糟。所以我肯定错过了什么，所以我的问题。为了说明我的意思，让我们考虑一下可能的关系：

Require Import Relations.      (* same_relation *)
Require Import Setoids.Setoid. (* seems to be needed for rewrite *)

Inductive rel1 {A:Type} : A -> A -> Prop :=
  | rel1_refl : forall x:A, rel1 x x.   (* for example *)

Inductive rel2 {A:Type} : A -> A -> Prop :=
  | rel2_refl : forall x:A, rel2 x x.   (* for example *)

这些关系的具体细节在这里并不重要，只要

rel1

和

rel2

是等效的。现在，如果我想忽略Coq库，我可以简单地说：

Lemma L1: forall (A:Type)(x y:A), rel1 x y <-> rel2 x y.
Proof.
  (* some proof *)
Qed.

在最简单的情况下，似乎已证明引理

L1

或引理

L2

同样有益：

Lemma application1: forall (A:Type) (x y:A), 
  rel1 x y -> rel2 x y (* for example *)
Proof.
  intros A x y H. apply L1 (* or L2 *) . exact H.
Qed.

无论我决定使用

apply L1

还是

apply L2

都没有区别

然而，在实践中，我们可能面临一个更复杂的目标：

Lemma application2: forall (A:Type) (x y:A) (p:Prop),
  p /\ rel1 x y -> p /\ rel2 x y.
Proof.
  intros A x y p H. rewrite <- L1. exact H.
Qed.

引理应用2:forall（A:Type）（xy:A）（p:Prop）， p/\rel1 x y->p/\rel2 x y。 证明。

---

介绍A x y p H.重写你提出了两个问题，我试着分别回答：

• 关于你的重写问题，这个问题很自然，因为

  相同关系的定义是双重包含。我同意使用
  iff
  的定义可能更方便。这实际上取决于你有什么样的目标。您的问题的一个可能解决方案是定义一个视图：
  
  Lemma L1 {A:Type} {x y:A} : rel1 x y <-> rel2 x y.
  Proof.
  Admitted.
  
  Lemma L2 {A:Type} : same_relation A rel1 rel2.
  Proof.
  Admitted.
  
  Lemma U {T} {R1 R2 : relation T} :
    same_relation _ R1 R2 -> forall x y, R1 x y <-> R2 x y.
  Proof. now destruct 1; intros x y; split; auto. Qed.
  
  Lemma application2 {A:Type} {x y:A} {p:Prop} :
     p /\ rel1 x y -> p /\ rel2 x y.
  Proof. now rewrite (U L2). Qed.
  
  引理L1{A:Type}{xy:A}:rel1xyrel2xy。
  证明。
  承认。
  引理L2{A:Type}：相同的关系A rel1 rel2。
  证明。
  承认。
  引理U{T}{r1r2:关系T}：
  相同的关系r1r2->对于所有x y，r1x y r2x y。
  证明。现在销毁1；简介xy；分裂自动的。Qed。
  引理application2{A:Type}{xy:A}{p:Prop}:
  p/\rel1 x y->p/\rel2 x y。
  证明。现在重写（U L2）。Qed。
  
  还要注意，使用
  关系进行重写实际上并不是基于相等，而是基于“setoid重写”。事实上，以下内容在Coq
  ab->A=B
  中并不适用
  

• 关于第二个问题，是否使用Coq标准库是一个非常主观的话题。我个人很少使用它，我更喜欢另一个名为

  math comp

  的库，但是YMMV。关于关系，mathcomp主要专门用于布尔关系

  rel x y=x->y->bool

  ，因此，等价性只是简单地定义为相等，通常，给定您要编写的

  r1=2 r2

  总之，这些选择在很大程度上取决于你的应用领域

[编辑]：请注意，关系库的日期为：

Coq中的朴素集理论。COQV6.1。这项工作由F.Prost于1993年7月开始

---

因此，事实上，它可能不是建造Coq开发项目的最佳现代化基地。

非常感谢！！

集合

库（包含

关系

和大写字母

R

）于1993年启动。但是OP指的是包含

关系
的
库（虽然我不知道它是什么时候开始的）。我认为
关系
是
集合
的直接后代，但是svn历史并不是那么简单。
Lemma L1 {A:Type} {x y:A} : rel1 x y <-> rel2 x y.
Proof.
Admitted.

Lemma L2 {A:Type} : same_relation A rel1 rel2.
Proof.
Admitted.

Lemma U {T} {R1 R2 : relation T} :
  same_relation _ R1 R2 -> forall x y, R1 x y <-> R2 x y.
Proof. now destruct 1; intros x y; split; auto. Qed.

Lemma application2 {A:Type} {x y:A} {p:Prop} :
   p /\ rel1 x y -> p /\ rel2 x y.
Proof. now rewrite (U L2). Qed.