Coq 雷尔：勒乌反对称理解

从逻辑基础上再看一章。我得到了一个我试图理解的练习的解决方案：

Definition antisymmetric {X: Type} (R: relation X) :=
  forall a b : X, (R a b) -> (R b a) -> a = b.

Theorem le_antisymmetric :
  antisymmetric le.
Proof.
  unfold antisymmetric. intros a b [| b' H1] H2.
  - reflexivity.
  - absurd (S b' <= b').
    + apply le_Sn_n.
    + etransitivity ; eassumption.

第二个子目标：

a, b, b' : nat
H1 : a <= b'
H2 : S b' <= a
============================
a = S b'

a，b，b”：nat
H1:a
介绍a b[|b'H1]H2
相当于

intros a b H H2.
destruct H as [| b' H1].

destruct
模式通常遵循这样的规则：如果一个归纳类型有一个构造函数（例如产品），那么对于该归纳类型中的
x
，
destruct x作为[a b c..]
进行（非递归）归纳，并将新变量重命名为
a
，
b
，
c
，等。当归纳类型有多个构造函数时，会出现多个情况。为此，可以使用
析构函数x作为[abc…| def…|]
。如果需要，可以嵌套这些销毁模式，例如，
destructx as[[ab]|[c[d|e]]]
。请注意，如果构造函数不带参数，则没有可重命名的内容，因此可以将模式保留为空

特别是，像自然数这样的东西可以用
析构函数n作为[|n']
进行析构函数。这分为以下情况：
n
为零（并且构造函数没有参数，因此
|
左侧没有任何内容）或者
n
是
n'
的后续项。类似地，可以将列表分解为
destruct li as[|a li']
，将列表分为
nil
和
cons a li'
两种情况。
左侧的空格是不必要的，因此您可以将li作为[| li']

进行

解构

具体地说，在你的案例中，
le
被定义为一种归纳类型，沿着

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
| le_n : le n n
| le_S : forall m : nat, le n m -> le n (S m).

因此有两种情况：一种是没有参数的情况，另一种是后续情况，其中参数是
m:nat
和
H:len m
。因此，销毁模式是
[|mh]


回答你的第二个问题，
荒谬（sb'False
）。使用
False
的归纳原则，这允许我们为任何类型生成见证，尤其是
a=sb'

你可以通过最少的实验看出
荒谬的
产生了什么样的证明术语

Goal forall A B: Type, A.
Proof.
  intros A B.
  absurd B.
  Show Proof.

这应该打印
（乐趣A B:Type=>False\rect A（？Goal？Goal0））
。第一个目标（
？目标
）的类型为
~B
（即
B->False
）。第二个目标（
？Goal0
）的类型为
B
。如果我们可以同时提供这两种类型，那么
？Goal？Goal0
的类型为
False
，因此
False\rect A（？Goal？Goal0）
生成类型为
A
的见证，介绍A b[|b'H1]H2
相当于

intros a b H H2.
destruct H as [| b' H1].

destruct
模式通常遵循这样的规则：如果一个归纳类型有一个构造函数（例如产品），那么对于该归纳类型中的
x
，
destruct x作为[a b c..]
进行（非递归）归纳，并将新变量重命名为
a
，
b
，
c
，等。当归纳类型有多个构造函数时，会出现多个情况。为此，可以使用
析构函数x作为[abc…| def…|]
。如果需要，可以嵌套这些销毁模式，例如，
destructx as[[ab]|[c[d|e]]]
。请注意，如果构造函数不带参数，则没有可重命名的内容，因此可以将模式保留为空

特别是，像自然数这样的东西可以用
析构函数n作为[|n']
进行析构函数。这分为以下情况：
n
为零（并且构造函数没有参数，因此
|
左侧没有任何内容）或者
n
是
n'
的后续项。类似地，可以将列表分解为
destruct li as[|a li']
，将列表分为
nil
和
cons a li'
两种情况。
左侧的空格是不必要的，因此您可以将li作为[| li']
进行
解构

具体地说，在你的案例中，
le
被定义为一种归纳类型，沿着

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
| le_n : le n n
| le_S : forall m : nat, le n m -> le n (S m).

因此有两种情况：一种是没有参数的情况，另一种是后续情况，其中参数是
m:nat
和
H:len m
。因此，销毁模式是
[|mh]


回答你的第二个问题，
荒谬（sb'False
）。使用
False
的归纳原则，这允许我们为任何类型生成见证，尤其是
a=sb'

你可以通过最少的实验看出
荒谬的
产生了什么样的证明术语

Goal forall A B: Type, A.
Proof.
  intros A B.
  absurd B.
  Show Proof.

这应该打印
（乐趣A B:Type=>False\rect A（？Goal？Goal0））
。第一个目标（
？目标
）的类型为
~B
（即
B->False
）。第二个目标（
？Goal0
）的类型为
B
。如果我们可以同时提供这两个，那么
？Goal？Goal0
的类型为
False
，因此
False\u rect A（？Goal？Goal0）
生成类型为
A
的见证