Coq 关于不同类型等式的假设和证明定理(证明两个偶数之和的相依类型的交换性)
简短的问题是:如何从下面的代码证明(或如何以“更好”的方式假设)定理Coq 关于不同类型等式的假设和证明定理(证明两个偶数之和的相依类型的交换性),coq,Coq,简短的问题是:如何从下面的代码证明(或如何以“更好”的方式假设)定理 Inductive even : nat -> Type := | EZ : even 0 | ES : forall n, odd n -> even (S n) with odd : nat -> Type := | OS : forall n, even n -> odd (S n). Fixpoint even_sum n1 n2 (e1 : even n1) : even n2 ->
Inductive even : nat -> Type :=
| EZ : even 0
| ES : forall n, odd n -> even (S n)
with odd : nat -> Type :=
| OS : forall n, even n -> odd (S n).
Fixpoint even_sum n1 n2 (e1 : even n1) : even n2 -> even (n1 + n2) :=
match e1 with
| EZ => fun e2 => e2
| ES _ o1 => fun e2 => ES (odd_sum o1 e2)
end
with odd_sum n1 n2 (o : odd n1) : even n2 -> odd (n1 + n2) :=
match o with
| OS _ e => fun e2 => OS (even_sum e e2)
end.
Theorem add_comm_right_0 : forall n, n = n + 0.
induction n; crush.
Defined.
Theorem add_comm : forall (n m : nat), n + m = m + n.
induction n; intros.
apply add_comm_right_0.
crush.
Defined.
Theorem even_sum_commut' : forall n1 n2, even (n1 + n2) -> even (n2 + n1).
intros.
rewrite add_comm.
apply H.
Defined.
Theorem odd_sum_commut' : forall n1 n2, odd (n1 + n2) -> odd (n2 + n1).
intros. rewrite add_comm. assumption.
Defined.
Scheme even_mut := Induction for even Sort Prop
with odd_mut := Induction for odd Sort Prop.
Theorem even_sum_right_0 : forall n1 (e1 : even n1),
e1 = even_sum_commut' n1 0 (even_sum e1 EZ).
Proof.
apply (even_mut (fun n en => en = even_sum_commut' n 0 (even_sum en EZ))
(fun n on => on = odd_sum_commut' n 0 (odd_sum on EZ))).
- simpl. reflexivity.
- intros. simpl.
Admitted.
Theorem even_sum_commut : forall n1 n2 (e1 : even n1) (e2 : even n2),
even_sum e1 e2 = even_sum_commut' _ _ (even_sum e2 e1).
Proof.
Admitted.
如我所见,偶数和e2
和偶数和e2
是相同的术语(根据偶数和的定义)。所以,在我看来,这个定理应该是可以证明的。但我不确定(类型不同,在我看来这是问题的一部分)
长话短说如下
我正在读亚当·克利帕拉的书(非常感谢作者!)。而且我还试着解决练习题。前4个练习对我来说是解决它们的乐趣(因为这是一件相当快的事情)。但我面临着一个练习,如果修改它,它会变得更有趣
归纳类型的第0.1章,练习5
Inductive nat_even : Type :=
| EZ' : nat_even
| EN' : nat_odd -> nat_even
with nat_odd : Type :=
| ON' : nat_even -> nat_odd.
但我想尝试一下上面给出的另一个定义(受书中给出的定义启发)
一个小的解释。请注意:这不是教科书上的练习,这是(我自己的)修改,使任务有点不容易解决(至少对我来说)。这本书最初的任务是相当艰难的(好吧,你需要考虑一下,但仍然如此)。所以,这里没有任何可能的“违反荣誉准则”的行为
任何想法都是受欢迎的,我很想知道“如何以更好的方式去做”或者“如何以另一种方式去做”。我的意思是“如何表述和证明不同类型的定理,这是可能的”
也许有人能给我一个教科书/论文的链接让我阅读。这也很好。解决此类问题的最佳方法是忘记类型依赖关系。在这种情况下,
偶数n
和奇数n
的证明完全以n
为特征,如下引理所示
From Coq Require Import ssreflect ssrfun.
Require Import Coq.Arith.Arith.
Set Implicit Arguments.
Inductive even : nat -> Type :=
| EZ : even 0
| ES : forall n, odd n -> even (S n)
with odd : nat -> Type :=
| OS : forall n, even n -> odd (S n).
Fixpoint even_or_odd (n : nat) : even n + odd n :=
match n with
| 0 => inl EZ
| S m => match even_or_odd m with
| inl p => inr (OS p)
| inr p => inl (ES p)
end
end.
Fixpoint nat_of_evenK n (p : even n) : even_or_odd n = inl p :=
match p with
| EZ => erefl
| @ES m p => congr1 (fun r : even m + odd m =>
match r with
| inl q => inr (OS q)
| inr q => inl (ES q)
end)
(nat_of_oddK p)
end
with nat_of_oddK n (p : odd n) : even_or_odd n = inr p :=
match p with
| @OS m p => congr1 (fun r : even m + odd m =>
match r with
| inl q => inr (OS q)
| inr q => inl (ES q)
end)
(nat_of_evenK p)
end.
Lemma even_irrel n (p q : even n) : p = q.
Proof.
suff [//] : inl p = inl q :> even n + odd n.
by rewrite -2!nat_of_evenK.
Qed.
Lemma odd_irrel n (p q : odd n) : p = q.
Proof.
suff [//] : inr p = inr q :> even n + odd n.
by rewrite -2!nat_of_oddK.
Qed.
特别是,
Definition even_comm_cast n m : even (n + m) -> even (m + n) :=
let: erefl := Nat.add_comm n m in id.
Lemma even_addC n m (p : even (n + m)) (q : even (m + n)) :
p = even_comm_cast m n q.
Proof.
rewrite /even_comm_cast.
case: (n + m) / Nat.add_comm p => //= p; exact: even_irrel.
Qed.
我想你这样做是为了自学,但我们还是尽量避免给课本上的练习提供帮助(因为学生以后很容易找到)/亚瑟,谢谢你的通知。我对问题补充了解释。简历:如果你帮助我,你不会给出任何教科书上练习的答案,因为没有教科书上有这样的练习(至少我知道)。所以,没什么好担心的。对不起,我一开始不明白!亚瑟,谢谢你的解释。太棒了!