Coq：我如何从一个可判定的道具创建一个布尔？

我想将我的程序构造为抽象模块，并编写使用抽象类型的函数。但是我不能使用

match

来破坏抽象类型，所以我必须创建某种类型的反转引理，但是我也不能

match

。我试图将我的问题归结为：

首先创建可由可判定类型使用的模块类型

Require Import Decidable.

Module Type decType.
  Parameter T : Type.
  Axiom decT : forall (a b:T), decidable (a=b).
End decType.

下面是一个示例：

nat

是可判定的。但目标是编写

plus

等，只处理抽象类型。（我已经删除了参数

zero

，

Succ

，以及它们的要求，以使这里的示例最小化）

---

到目前为止，我的想法是，我必须在decType模块类型中添加一个布尔函数，如下所示：

Module Type decType.
  Parameter T : Type.
  Axiom decT : forall (a b:T), decidable (a=b).
  Parameter decB : forall (a b:T), {a=b}+{a<>b}.
End decType.

模块类型decType。
参数T:Type。
公理decT:forall（ab:T），可判定（a=b）。
参数decB:forall（ab:T），{a=b}+{ab}。
结束类型。

然后在上面的

nat_dec

模块中定义

decB

---

这是必须做的吗（即定义函数decB）？如果不经过返回bool的函数，就不可能使用类型是可判定的抽象事实吗？

由于Coq中命题和计算对象的分离，您无法编写此函数（例如，请参阅）

请注意，将

decB

参数添加到模块中会使

可判定

公理变得不必要，因为您可以使用

{p}+{Q}

来派生

p\/Q

我想补充几个相关的注释。首先，我将避免使用Coq模块系统来执行名称空间和编写不透明定义以外的任何操作。如果要编写参数化定义，最好使用依赖记录，例如

Record eqType := {
  sort :> Type; 
  eqb : sort -> sort -> bool;
  eqbP : forall x y, eqb x y = true <-> x = y
}.

这些功能是为每种归纳数据类型自动定义的。它们涉及依赖类型，但您也可以使用它们来执行非依赖类型的递归。尽管这会有点低效，但您也可以通过向它们传递忽略递归调用值的函数（在上面的示例中，第二个函数参数的

tn

参数），将它们用于模式匹配

Module Type decType.
  Parameter T : Type.
  Axiom decT : forall (a b:T), decidable (a=b).
  Parameter decB : forall (a b:T), {a=b}+{a<>b}.
End decType.

Record eqType := {
  sort :> Type; 
  eqb : sort -> sort -> bool;
  eqbP : forall x y, eqb x y = true <-> x = y
}.

nat_rect : forall (T : nat -> Type),
             (* value for 0 *)
             T 0 ->
             (* body for recursive call *)
             (forall n, T n -> T (S n)) ->
             forall n, T n.