Coq 如何'；埃利姆'；关于存在量词的研究？

我对Coq处理存在量化的方式感到困惑

我有一个谓词p和一个假设H

P : nat -> Prop
H : exists n, P n

而目前的目标是（无论如何）

如果我想在H中实例化n，我会这样做

elim H.

然而，在淘汰之后，当前的目标变为

forall n, P n -> (Some goal)

看起来Coq把一个存在量词转换成了一个通用量词。我知道（对于所有的a，pa->qa）->（（存在a，pa）->qa）是基于我对一阶逻辑的有限知识。但相反的观点似乎是不正确的。如果“forall”和“exists”不相等，为什么Coq会进行这种转换

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Coq中的“elim”是否会用一个更难证明的目标来取代目标？或者有人能说明为什么（（存在a，PA）->Q a）->（对于所有a，PA->Q a）在一阶逻辑中成立吗？

也许缺少的关键是目标：

forall n, P n -> (Some goal)

应理解为：

对于所有n，（pn->（一些目标））

而不是：

(forall n, P n) -> (Some goal)

也就是说，给你的目标只是给你一个任意的

n

和一个证明

pn

，这确实是消除存在论的正确方法（你不需要知道证人的价值，因为它可能是使

P

为真的任何价值，你只需要知道有一个

n

并且

pn

成立）

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相反，后者将为您提供一个函数，可以为您传递的任何

n

构建

pn

，这确实是一个比您拥有的声明更有力的声明。

我意识到这个问题很老，但我想补充以下重要的澄清：

在Coq（更一般地说，在直觉逻辑中）中，存在量词的定义（见）如下

(exists x, (P x)) := forall (P0 : Prop), ((forall x, (P x -> P0)) -> P0)

直觉上，这可以理解为

（存在x，px）

是最小的命题，只要

px0

对某些

x0

事实上，我们可以很容易地用Coq证明以下两个定理：

forall x0, (P x0 -> (exists x, P x))    (* the introduction rule -- proved from ex_intro *)

和（提供的

A:Prop

）

所以这是一个Coq形式的目标

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- G

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- forall x0, (P x0 -> G)

转换（使用elim）为表单的Coq目标

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- G

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- forall x0, (P x0 -> G)

因为只要

h:forall x0，（px0->G）

，那么

G

就可以通过证明项精确地证明

(ex_ind A P G h w) : G

无论何时

G:Prop

，它都能工作

注意：上述消除规则仅在

A:Prop

时有效，并且不能在

A:Type

时证明。在Coq中，这意味着我们没有正确的

消除器。

根据我的理解（有关更多详细信息，请参阅），这是一种保留良好程序提取属性的设计选择。
如果p仅适用于两个nat值，但只有一个可以推断（某个目标），该怎么办？如果目标转换为“forall”风格，我必须证明这两种情况都是正确的。那么Coq是否进行了积极的转换？@xywang否。当你消除存在量词时，你会得到一个抽象的、任意的
nat
。你不知道它是哪一个，只是
P
保持不变。所以你需要证明
某个目标
只要知道
存在一个P持有的nat
。如果你需要知道哪个
nat
是为了证明
某个目标
，那么你的定理陈述太笼统了，你需要的信息比存在假设给你的更多。@Ptival的答案解释得很好。也不是这样e您只需添加一个
介绍。
即可在您的上下文中获得
n
。