Coq中实数的强完备性公理

以下是Coq标准库中定义的完整性公理

Definition is_upper_bound (E:R -> Prop) (m:R) := forall x:R, E x -> x <= m.

Definition bound (E:R -> Prop) := exists m : R, is_upper_bound E m.

Definition is_lub (E:R -> Prop) (m:R) :=
is_upper_bound E m /\ (forall b:R, is_upper_bound E b -> m <= b).



Axiom completeness :
forall E:R -> Prop,
  bound E -> (exists x : R, E x) -> { m:R | is_lub E m }.

定义是上界（E:R->Prop）（m:R）：=对于所有x:R，ex->x Prop）：=存在m:R，是上界em。
定义为润滑（E:R->Prop）（m:R）：=
是上界em/\（对于所有b:R，是上界eb->m Prop，
界E->（存在x:R，ex）->{m:R | is_lub E m}。

假设我加进去

Axiom supremum :forall E:R -> Prop,
  (exists l : R,is_upper_bound E l) -> 
  (exists x : R, E x) -> 
  { m:R | is_lub E m /\ (forall x:R, x<m -> exists y:R,(E y /\ y >x))}.

Axiom supremum:forall E:R->Prop，
（存在l:R，是上界EL）->
（存在x:R，E x）->
{m:R|is_lub E m/\（对于所有x:R，x存在y:R，（ey/\y>x））}。

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这是必需的吗？（即它是否遵循其他部分）是否存在一致性问题？此外，为什么这不是标准库中的定义（我猜这部分是主观的）.

你的

上确界

公理等同于排除中间定律，换句话说，通过引入这一公理，你将经典逻辑带到了桌面上

完备性

公理已经暗示了排除中间定律的一种形式，如

sig_not_dec

引理（模块）所示，该引理说明了否定公式的可判定性：

Lemma sig_not_dec : forall P : Prop, {~~ P} + {~ P}.

supremum

axiom意味着LEM 让我们使用

sig_not_dec

引理的标准证明来证明，利用更强的完备性公理（

supremum

），我们可以导出排除中间定律的强形式

Lemma supremum_implies_lem : forall P : Prop, P \/ ~ P.
Proof.
intros P.
set (E := fun x => x = 0 \/ (x = 1 /\ P)).
destruct (supremum E) as (x & H & Hclas).
  exists 1. intros x [->|[-> _]].
  apply Rle_0_1. apply Rle_refl. exists 0; now left.
destruct (Rle_lt_dec 1 x) as [H'|H'].
- left.
  pose proof (Rlt_le_trans 0 1 x Rlt_0_1 H') as Hx0.
  destruct (Hclas 0 Hx0) as (y & [contra | (_ & Hp)] & Hy0).
  + now apply Rgt_not_eq in Hy0.
  + exact Hp.
- right. intros HP.
  apply (Rlt_not_le _ _ H'), H; now right.
Qed.

LEM意味着

上确界

公理 现在，让我们证明LEM的强版本暗示了

上确界

公理。我们通过证明在构造设置中，我们可以导出

上确界

的否定形式，其中

存在y:R，ey/\y>x

部分被替换为

~（对于所有y，y>x->~ey）

，然后使用通常的经典事实证明原始语句也成立

Require Import Classical.

Lemma helper (z : R) (E : R -> Prop) :
    (forall y, y > z -> ~ E y) -> is_upper_bound E z.
Proof.
  intros H x Ex.
  destruct (Rle_dec x z).
  - assumption.
  - specialize (H x (Rnot_le_gt x z n)); contradiction.
Qed.

Lemma supremum :forall E:R -> Prop,
  (exists l : R,is_upper_bound E l) ->
  (exists x : R, E x) ->
  {m:R | is_lub E m /\ (forall x:R, x<m -> exists y:R, E y /\ y > x)}.
Proof.
  intros E Hbound Hnonempty.
  pose proof (completeness E Hbound Hnonempty) as [m Hlub].
  clear Hbound Hnonempty.
  exists m. split; auto.
  intros x Hlt.
  assert (~ (forall y, y > x -> ~ E y)) as Hclass.
    intro Hcontra; apply helper in Hcontra.
    destruct Hlub as [Hup Hle].
    specialize (Hle x Hcontra).
    apply Rle_not_lt in Hle; contradiction.
  (* classical part starts here *)
  apply not_all_ex_not in Hclass as [y Hclass]; exists y.
  apply imply_to_and in Hclass as [Hyx HnotnotEy].
  now apply NNPP in HnotnotEy.
Qed.

需要导入经典。
引理助手（z:R）（E:R->Prop）：
（对于所有y，y>z->~eyy）->是上界ez。
证明。
介绍H x Ex。
自毁（Rle_dec x z）。
-假设。
-专门化（hx（Rnot_le_gt xzn））；矛盾。
Qed。
上引理：对于所有E:R->Prop，
（存在l:R，是上界EL）->
（存在x:R，E x）->
{m:R | is_lub E m/\（对于所有x:R，x存在y:R，ey/\y>x）}。
证明。
导言E Hbound Hnonempty。
作为[m Hlub]的姿势证明（完整性E Hbound Hnonempty）。
清清楚楚。
存在m.分割；自动。
简介x Hlt。
断言（~（对于所有y，y>x->~eyy））为Hclass。
介绍Hcontra；在Hcontra中应用帮助程序。
将Hlub分解为[Hup-Hle]。
专门化（Hle x Hcontra）。
用矛盾来解决问题。
（*经典部分从这里开始*）
当[y Hclass]；存在y时，应用不在Hclass中的所有（不在Hclass中）。
以[Hyx HnotnotEy]的形式将暗示_应用于_和Hclass中。
现在在HnotnotEy中应用NNPP。
Qed。