Coq 处理{x:nat | x>；=13/\x<；=19}形式的（子）类型的最佳方法？

Coq让我来定义一下：

Definition teenagers : Set := { x : nat | x >= 13 /\ x <= 19 }.

但不是：

Example minus_20 : forall x:teenagers, x<20.

这是因为Julia（青少年类型）无法与12（nat）相比

Q:我应该如何告知Coq Julia的支持类型是nat，以便我可以写任何关于她的有用信息

---

Q'：我对青少年的定义似乎是一条死胡同；它更多的是声明性的，而不是建设性的，我似乎已经失去了nat的归纳特性。我怎样才能展示它的居民？如果没有办法，我仍然可以坚持nat并使用道具和函数。（这里是新手，不到一周的自学时间）。

您在

青少年中使用的模式是“子类型”模式的一个实例。正如您所注意到的，a
{x:nat | px}
不同于
nat
。目前，Coq很少提供有效处理此类类型的支持，但如果您仅限于
P
的“行为良好”类，实际上可以以合理的方式工作。[顺便说一句，这应该成为Coq常见问题解答]

从长远来看，您可能希望对此模式使用特殊支持。math comp library
subType
接口提供了此类支持的一个很好的例子

描述此接口超出了您最初的问题，因此我将以几点评论作为结束：


在
减20
示例中，您希望使用数据类型的第一个投影。请为所有x:青少年尝试
，proj1\u sig x<20
。如果您将投影声明为
强制
，Coq可以尝试自动插入此类投影：

Require Import Omega.

Definition teenagers : Set :=
  { x : nat | x >= 13 /\ x <= 19 }.

Coercion teen_to_nat := fun x : teenagers => proj1_sig x.

Implicit Type t : teenagers.

Lemma u t : t < 20.
Proof. now destruct t; simpl; omega. Qed.

然后，可以将对基类型的推理转移到子类型。另见：


[编辑]：我在math comp中添加了两个典型的子类型示例，因为我认为它们很好地说明了这个概念：


调整列表大小或
n.-tuples
。长度为n的列表在math comp中表示为一对单个列表加上大小证明，即
n.-tuple T={s:seq T | size s==n}
。多亏了内射性和协同性，您可以在元组上使用所有常规列表函数，它们工作得很好
有界自然数或序数：类似地，类型
'I_n={x:nat|x
的工作原理几乎与自然数相同，但有界

Thx！这对我来说已经有很多新的关键词（强制？）和概念，但我很高兴有一个积极的答案可以挖掘。感谢Thx在coq标签上如此积极和有建设性。欢迎您；这个特殊的用例是一个复杂的用例，专门针对初学者和IIRC，SF中没有深入介绍。请随意询问您对代码的任何问题。@FZed CPDT涵盖子集类型，从开始。我希望有一本关于数学comp/ssreflect的教科书，我可以推荐：）我听说正在进行一些工作。。。ITP很快就会有一个教程：可以在浏览器中运行，这也提供了一些练习，但它是面向数学的。
Example Julia_fact1 : Julia > 12.

Require Import Omega.

Definition teenagers : Set :=
  { x : nat | x >= 13 /\ x <= 19 }.

Coercion teen_to_nat := fun x : teenagers => proj1_sig x.

Implicit Type t : teenagers.

Lemma u t : t < 20.
Proof. now destruct t; simpl; omega. Qed.

forall t1 t2, teen_to_nat t1 = teen_to_nat t2 -> t1 = t2.