Coq mset的归纳证明

我试图在Coq开发中使用MSet库，我需要一个

map

函数，该函数在库中没有，但可以像往常一样使用

fold

实现

在下面，我对我正在研究的内容做了一个简化，充满了公理，只是为了直截了当

我的问题是证明以下

map

函数的一个属性：

Definition map (f : Exp -> Exp) s
  := MSet.fold (fun a ac => MSet.add (f a) ac) MSet.empty s.

它使用Coq MSet库中的

折叠

。我要显示的属性是：

  Lemma map_lemma : forall s f e, In e (map f s) -> exists e', In e' s /\ e = f e'.
  Proof.
     induction s using set_induction ; intros ; try fsetdec.

这是为了表明，如果集合

map f s

中的一个元素

e

，则在

s

，s.t.

e=f e'

中存在另一个元素

e'

。我的困难在于证明归纳的情况，因为由

set\u归纳产生的归纳假设似乎根本没有用处

有人能给我一些关于我该怎么做的线索吗
 首先，我认为您对
smap
的定义存在问题。您必须交换
MSet.empty
和
s
，否则您可以证明：

Lemma snap_trivial : forall f s, smap f s= s.
Proof.
  intros. reflexivity.
Qed.

有了正确的定义，您可以使用适合于这种目标的
fold\u rec
引理。
关于集合不包括
map
操作的说明，因为它只有在映射函数是内射的且保序的情况下才有意义。对于所有其他情况，您所讨论的是“f下的集合的图像”，它具有稍微不同的属性。